Lineare Optimierung, zwei Variablen

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andrklein Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Optimierung, zwei Variablen
Meine Frage:
Hallo zusammen.

Folgende Fragestellung habe ich (s. Bild):

a) bestimmen Sie graphisch die optimale Lösung der Zielfunktion

Das Ergebnis dafür habe ich aus einer Musterlösung, allerdings komme ich nicht auf den Rechenweg.

Meine Ideen:
Folgendes habe ich herausgefunden:

x1,x2 >= 0 ist die Nichtnegativitätsbedingung, die besagt in welchem Bereich vom kartesischen Koordinatensystem die Lösung liegt.

Da x2 = y (oder ist es überhaupt y?) und x1 = x liegt sie im 1. Quadrant rechts oben, im positiven Bereich.

Die drei Gleichungen: x1 + x2 <= 4; x1 - x2 <= 2 und -x1 + x2 <= 2 sind die Nebendingung und dienen somit für die Rechnung.

Es sind lineare Ungleichungen mit zwei Variablen; laut meiner Meinung?

Ich habe nun versucht die Gleichungen nach x2 aufzulösen.

Also:

1. x2 <= 4 - x1
2. -x2 <= 2 - x1
3. x2 <= 2 + x1

Allerdings denke ich nicht, dass das richtig ist?

Die grafische Rechnung und die Punkte die in der Lösung herauskommen hab ich mal angehängt.

Ich suche keine komplette Rechnung, nur einen Hinweis darauf wie man rechnen muss, da ich durch das x1 und x2 verwirrt bin und man im Internet nur Anleitungen findet wo Zahlen vor den Variablen stehen. Oder muss ich mir vor x1 und x2 einfach eine 1 denken?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibt es nichts zu rechnen, die Lösung entnimmt man der Grafik. Eine lineare Ungleichung in zwei Variablen entspricht einer Halbebene, denn eine lineare Gleichung in zwei Variablen entspricht einer Geraden. Der Durchschnitt der Halbebenen ist das Polygon ABCDE, das ist der zulässige Bereich. Optimale Lösungen bezüglich einer linearen Zielfunktion liegen immer auf Ecken des zulässigen Bereichs. FERTIG smile und musst du nicht in und umbenennen, sowas macht man nicht (darf man aber machen, wenn es die Vorstellung unterstützt, und wir haben es ja so in der Schule gelernt).
andrklein Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass die Zeichnung nicht gegeben ist, man muss auf diese von selbst kommen, was man - meiner Meinung nach - nur durch rechnen erreichen kann?

Oder kann ich das aus den drei Nebenbedingungen einfach herauslesen wie die Zeichnung aussehen muss, ohne etwas zu rechnen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das habe ich schon beschrieben. Man zeichnet die Geraden, schraffiert die Halbebenen, sieht das Polygon und die Lösungen.
andrklein Auf diesen Beitrag antworten »

Ach jetzt.

Ich zeichne also die Gleichungen genau so wie sie dranstehen in ein Koordinatensystem [attach]44912[/attach]. Und da x1 und x2 ja keinerlei zahlen beinhaltet ist einfach alles 1.

Oder? Und alles was ich zwischen den Schnittpunkten ausmalen könnte stellt quasi die Fläche dar, von der dann die Eckpunkte die Punkte sind, die ich brauche?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

x+y=4 ist die Gerade DC, <4 ist die Halbebene links darunter
y=x+2 ist die Gerade ED, <2 ist die Halbebene rechts darunter
y=x-2 ist die Gerade BC, >-2 ist die Halbebene links darüber
Die Nichtnegativitätsbedingungen sind die Halbebenen über der x-Achse AB und rechts von der y-Achse AE
Der zulässige Bereich ist ein Polygon, genauer ein 5gon, nämlich die konvexe Hülle der Punkte ABCDE

Allgemein ist der zulässige Bereich eines linearen Problems der ( konvexe ! ) Durchschnitt von Halbräumen, weil lineare Gleichungen Hyperebenen und lineare Ungleichungen Halbräume darstellen. Diese Vorstellung hat mir bei der Arbeit mit linearen Optimierproblemen sehr geholfen (zur Lösung braucht man dann nur noch ein paar gute Programme, die auch heute noch irgendwie auf dem Simplex-Algorithmus aufbauen).
 
 
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