LGS mit Randbedingungen

17.07.2017, 16:29

Baum290

LGS mit Randbedingungen

Guten Tag,
ich komme bei einer eigentlich "trivialen Aufgabe" nicht weiter. Ich muss ein LGS mit Randbedingungen lösen und komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis

$\begin{eqnarray*} x_1 = (1-p) x_1 + (1-p)x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = p(1-p)x_1 + p(1-p)x_2 +(1-p)x_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = p^2 x_1 + p^2 x_2 + p x_3 \end{eqnarray*}$

Mit den Randbedingungen
$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3 =1 \quad \land \quad x_i \geq 0, \forall i \in \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$
Es ist schon etwas her, dass ich ein LGS lösen musste. Deswegen habe keine richtige Taktik, wie da rangehen soll. Mit dem Gleichsetzungs-,Einsetzungsverfahren etc. komme ich nicht aufs richtige Ergebnis. Das Gausverfahren klappt auch nicht.

Könnte mir bitte jemand, erklären, wie ein derartiges LGS löse.

Lsg: $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3)= ( \frac{(1-p)^2}{1-p+p^2},\frac{(1-p)p}{1-p+p^2} , \frac{p^2}{1-p+p^2} ) \end{eqnarray*}$

LaTeX-End-Tag korrigiert, zweiten Beitrag gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

17.07.2017, 17:33

Dustin

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Hi,
mit jedem der von dir angegebenen Verfahren lässt sich dieses LGS mit 4 Gleichungen und 3 Unbekannten lösen, wobei ich das Gaußverfahren bevorzugen würde (mit p als Parameter).

Wenn du also nicht auf das richtige Ergebnis kommst, dann zeig mal deinen Rechenweg.

LG Dustin

17.07.2017, 18:36

Baum290

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$\begin{eqnarray*} x_1 = (1-p) x_1 + (1-p)x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = p(1-p)x_1 + p(1-p)x_2 +(1-p)x_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3 = p^2 x_1 + p^2 x_2 + p x_3 \end{eqnarray*}$

Umstellen

$\begin{eqnarray*} 0 = -p x_1 + (1-p)x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = p(1-p)x_1 + (p(1-p)-1)x_2 +(1-p)x_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = p^2 x_1 + p^2 x_2 + (p-1) x_3 \end{eqnarray*}$

Gaußverfahren
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -p & (1-p) & 0 \\ p(1-p) & p(1-p)-1 & (1-p) \\ p^2 & p^2 & (p-1) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

II: II+III
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -p & (1-p) & 0 \\ p & (p-1) & 0 \\ p^2 & p^2 & (p-1) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich das Problem, wenn ich I:I+II

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ p^2 & p^2 & (p-1) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.07.2017, 18:38

Baum290

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Ich würde das gerne auch mit dem Gauß-Verfahren lösen. Mache ich irgendwo ein Denkfehler, irgendwie kriege ich die Stufenform nicht hin.

17.07.2017, 20:09

Dustin

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Erst einmal: die Gleichung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=1 \end{eqnarray*}$ hast du im Gauß nicht berücksichtigt (gut, man kann diese Gleichung auch erst ganz am Ende berücksichtigen, aber es gab keinen Grund, sie nicht von vornherein mit in die Gaußmatrix zu schreiben.)

Zur Rechnung: alles richtig, außer dass du im letzten Schritt nur eine Nullzeile bekommst, da die zweite Zeile unverändert stehen bleibt.

Also lautet die Zeilenstufenform

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ p & (p-1) & 0 \\ p^2 & p^2 & (p-1) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} x_1=\lambda \end{eqnarray*}$ setzen und dann $\begin{eqnarray*} x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmen. Hast du das gemacht und setzt das dann in deine Randbedingung ein, bekommst du $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und hast das LGS gelöst.

17.07.2017, 21:47

Baum290

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Zitat:

eine Nullzeile bekommst, da die zweite Zeile unverändert stehen bleibt.

Stimmt.

Könntest du bitte erklären wie auf diesen Schritt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_1=\lambda \end{eqnarray*}$ setzen

kommst. Ist dies nur möglich, weil wir noch die zusätzliche Gleichung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=1 \end{eqnarray*}$ haben?

Aus $\begin{eqnarray*} x_1=\lambda \end{eqnarray*}$ folgt für Glg.II:

$\begin{eqnarray*} \lambda p + x_2(p-1)=0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -\frac{\lambda p}{p-1} \end{eqnarray*}$

und für Glg.3

$\begin{eqnarray*} \lambda p^2 - \frac{\lambda p^3}{p-1} + x_3(p-1) =0 \quad \Rightarrow \quad x_3 = \frac{\frac{\lambda p^3}{p-1}- \lambda p^2}{p-1} =\frac{\lambda p^3 - \lambda p^2(p-1)}{(p-1)^2} \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} \lambda+x_2+x_3=1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 1- x_2 -x_3 = 1 +\frac{\lambda p}{p-1} +\frac{\lambda p^3 - \lambda p^2(p-1)}{(p-1)^2} \end{eqnarray*}$

Hmm mache ich etwas falsch, das nach lambda aufzulösen ist ja auch nicht gerade trivial?

17.07.2017, 22:03

Dustin

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Zitat:

Könntest du bitte erklären wie auf diesen Schritt

Zitat:
$\begin{eqnarray*} x_1=\lambda \end{eqnarray*}$ setzen

kommst. Ist dies nur möglich, weil wir noch die zusätzliche Gleichung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=1 \end{eqnarray*}$ haben?

Das hat damit nichts zu tun. In deiner Zeilenstufenform hast du doch noch zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, d.h. das LGS ist unterbestimmt und du kannst eine der Variablen frei wählen.

Zitat:

Hmm mache ich etwas falsch, das nach lambda aufzulösen ist ja auch nicht gerade trivial?

Fehler finde ich keine. Das $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ lässt sich durch Ausmultiplizieren des Zählers noch etwas vereinfachen.
Und am Schluss musst du halt auf der rechten Seite den Hauptnenner bilden und dann systematisch alle Terme mit lambda auf eine und alle ohne lambda auf die andere Seite bringen. LGSe lösen ist halt meistens ganz schön viel Rechenarbeit, aber du bist auf jeden Fall auf dem richtigen Weg. smile

18.07.2017, 08:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dustin

Zitat:

Das hat damit nichts zu tun. In deiner Zeilenstufenform hast du doch noch zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, d.h. das LGS ist unterbestimmt und du kannst eine der Variablen frei wählen.

Hm, der Umweg über eine freie Variable, die dann am Ende wegen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=1 \end{eqnarray*}$ doch nicht frei ist, macht die Sache unnötig kompliziert. Nimmt man noch die Gleichung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=1 \end{eqnarray*}$ hinzu, geht die Sache relativ mühelos:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ p & p-1 & 0 & 0 \\ p^2 & p^2 & p-1 & 0 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Addition von dem (-p)-fachen der 2. Zeile zur 3. Zeile ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ p & p-1 & 0 & 0 \\ 0 & p & p-1 & 0 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Addition von dem (-p)-fachen der 1. Zeile zur 2. Zeile ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -p & -p \\ 0 & p & p-1 & 0 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Addition von dem (p)-fachen der 2. Zeile zur 3. Zeile ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -p & -p \\ 0 & 0 & -p^2 + p-1 & -p^2 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In den Zeilen 2 und 3 noch die Vorzeichen vertauschen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & p & p \\ 0 & 0 & p^2 - p+1 & p^2 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt haben wir keine freie Variable mehr. Da obendrein $\begin{eqnarray*} p^2 -p + 1 > 0 \end{eqnarray*}$ immer gilt, gibt es genau eine Lösung.

Ich schieb das mal in den Hochschulbereich.

18.07.2017, 10:27

Baum290

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Okay jetzt kenne ich diese beiden Optionen.

Gibt es auch eine Elegantere Variante, wo man die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=1 \end{eqnarray*}$ direkt zu Beginn einsetzen kann.

Ich Frage, weil Dustin zu beginn sagte

Zitat:

Und noch eine andere Frage:

Zitat:

Da obendrein $\begin{eqnarray*} p^2 -p + 1 > 0 \end{eqnarray*}$ immer gilt, gibt es genau eine Lösung.

Warum die Ungleichung gilt ist mir klar. Warum folgt daraus aber, dass es genau eine Lösung gibt?

Gruß
Baum290

18.07.2017, 10:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Baum290
Gibt es auch eine Elegantere Variante, wo man die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=1 \end{eqnarray*}$ direkt zu Beginn einsetzen kann.

Nun ja, du kannst ja von Beginn an diese Gleichung in der Gauß-Matrix berücksichtigen, was ich auch zur größeren Transparenz gemacht hätte.

Zitat:

Original von Baum290

Zitat:

Da obendrein $\begin{eqnarray*} p^2 -p + 1 > 0 \end{eqnarray*}$ immer gilt, gibt es genau eine Lösung.

Warum die Ungleichung gilt ist mir klar. Warum folgt daraus aber, dass es genau eine Lösung gibt?

Das ergibt sich aus dem Gaußverfahren --> der Rang der Matrix ist 3. smile

Übrigens: du mußt ja noch die Bedingung x_i >= 0 beachten, woraus sich noch Bedingungen an das p ergeben.

18.07.2017, 12:05

Baum290

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Zitat:

der Rang der Matrix ist 3

Stimmt, deswegen ist die Matrix invertierbar, also die dazugehörige Abbildung bijektiv. Somit wird jedem Bildelement genau ein Urbild zugeordnet, d.h. es existiert genau eine Lösung.

Vielen Dank für deine Hilfe

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