Geometrie: Quader

18.07.2017, 13:50

Roland Gazi

Geometrie: Quader

Meine Frage:
Zwei von einander unabhängige Teilaufgaben:

a) Ein Quader mit einer Oberfläche von 8800cm² hat eine Raumdiagonale der Länge 90cm. Wie lang sind die 12 Kanten des Quaders zusammen?

b) Ein Quader hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten a = 26 und b = 24. Wie muss die Höhe h des Quaders gewählt werden, wenn zwei Raumdiagonalen des Quaders senkrecht aufeinander stehen sollen?
Berechnen Sie zwei mögliche Werte für h!

Meine Ideen:
Zu a): Ich hoffe, ich werde eines besseren belehrt, aber ich dachte, dass ein Quader eindeutuig berechnet werden kann, sobald 3 Bedingungen gegeben sind?

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} A_{Q} = 2 * (ab + ac + bc) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \end{eqnarray*}$
Ich hätte jetzt für eine Unbekannte einen Wert eingesetzt, darf man das? (Es müssten bei dieser Aufgabenstellung unendlich viele Lösungen geben?)

Für c = 10:

$\begin{eqnarray*} 8800cm² = 10 * a * b \Rightarrow a = \frac{880cm²}{b} \end{eqnarray*}$

a in die Raumdiagonalformel einsetzen:

$\begin{eqnarray*} (90cm)² = (\frac{880cm}{b})² + b² + 10² \end{eqnarray*}$
Spätestens da habe ich gemerkt, dass das unsinnig ist... Hier weiß ich nicht weiter..

Zu b) Aus a und b lässt sich die Diagonale der Fläche ermitteln:

$\begin{eqnarray*} d_{ab} = \sqrt{26^2 + 24^2} = 2\sqrt{313} \end{eqnarray*}$

Räumlich gesehen schneiden sich beide Raumdiagonalen bei der Hälfte der Höhe h. Jedoch kann das auch ins unendliche gehen, da weder die Diagonalenlänge, noch deren Winkel, noch c oder sonst etwas gegeben ist.

Ich bin euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet! :-)

18.07.2017, 14:34

riwe

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RE: Geometrie: Quader
zu Aufgabe 1)

setze a + b = x - c usw.
dann kannst du x aus den Angaben berechnen ( x = 130 oder so ähnlich Augenzwinkern

)
edit: die "0" vergessen

18.07.2017, 14:38

Leopold

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Es ist der Ersatz der binomischen Formel für Tripel, der dahintersteckt:

$\begin{align*} \color{green} \left( a + b + c \right)^2 \color{black} = \color{blue} a^2 + b^2 + c^2 + \color{red} 2 \left( ab + ac + bc \right) \end{align*}$

Siehst du es?

18.07.2017, 16:05

Roland Gazi

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RE: Geometrie: Quader
Fehler in der Beschreibung:

$\begin{eqnarray*} 8800cm² \neq \frac{880cm}{b} \end{eqnarray*}$ , da es nicht um das Volumen, sondern um die Oberfläche handelt (falls jemand auch mit solchen Aufgaben struggle hat.)

@riwe: Für x kommt exakt 130cm raus. Durch deinen Ansatz konnte ich dann den von Leopold durchführen.

@Leopold: Wow, ich hätte daraus niemals das erkennen können. Wunderbar!

Ich habe es schnell durchgerechnet und poste es hier rein, vielleicht hilft es auch anderen:

$\begin{eqnarray*} (a^2 + b^2 + c^2) = (90cm)^2 + 8800cm^2 = 16900cm^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Annahme: c = 10; a + b + c = x \Rightarrow a + b = x - 10cm \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x - 10 + 10)^2 = 16900cm² \Rightarrow x = \pm 130cm \end{eqnarray*}$
Man geht nicht von einer "negativen" Länge aus, deswegen nur + 130cm.

$\begin{eqnarray*} a + b = 130cm - 10cm \Rightarrow a = 120cm - b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8800cm^2 = 2 * [(120cm - b) * b + (120cm - b) * 10cm + 10cm * b)] \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst lässt sich b wahlweise mittels Mitternachtsformel oder pq-Formel ermitteln:

$\begin{eqnarray*} b_{1,2} = 60 \pm \sqrt{400} \end{eqnarray*}$ . Aus dieser Rechnung entnimmt man, dass durch die Annahme entweder a = 40cm und b = 80cm oder a = 80cm und b = 40cm lang ist. In beiden Fällen wäre die Kantenlänge gleich lang.

Kantenlänge mittels Umfang:

$\begin{eqnarray*} U = 4 * (a + b + c) \Rightarrow U =<b> 520cm</b> \end{eqnarray*}$
Die Aufgabe hat keine eindeutige Lösung, da unendlich viele Lösungen berechnet werden können.

Und jetzt bitte Hilfe zur b)! Da weiß ich auch nicht weiter..

18.07.2017, 16:44

Leopold

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RE: Geometrie: Quader

Zitat:

Original von Roland Gazi
$\begin{eqnarray*} (a^2 + b^2 + c^2) = (90cm)^2 + 8800cm^2 = 16900cm^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Annahme: c = 10; a + b + c = x \Rightarrow a + b = x - 10cm \end{eqnarray*}$

Irgendwie verstehe ich das nicht. Es ist doch schon allein $\begin{align*} a^2 + b^2 + c^2 = 90^2 \end{align*}$ , was sollen da die $\begin{align*} 8800 \end{align*}$ noch dabei? Und wieso die Annahme, daß $\begin{align*} c=10 \end{align*}$ ist. Da ist nichts anzunehmen. Über $\begin{align*} c \end{align*}$ ist in der Aufgabe nichts bekannt. Höchstens könnte man sagen: Ich mache einmal ein Beispiel mit $\begin{align*} c=10 \end{align*}$ , um einen Überblick über die Sache zu bekommen. Aber dann ist das auch nur ein Beispiel und nicht mehr.

Vielleicht bringen wir einmal Ordnung hinein. Dazu dienen klare Bezeichnungen:

$\begin{align*} A = \text{Oberflächeninhalt} = 2 \left( ab + ac + bc \right) \end{align*}$

$\begin{align*} d = \text{Länge Raumdiagonale} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \end{align*}$

$\begin{align*} K = \text{Gesamtkantenlänge} = 4 \left( a + b + c \right) \end{align*}$

Und die Gleichung aus meinem vorigen Beitrag zeigt nun:

$\begin{align*} \left( \frac{1}{4} K \right)^2 = d^2 + A \end{align*}$

Hier sind $\begin{align*} d \end{align*}$ und $\begin{align*} A \end{align*}$ bekannt, und $\begin{align*} K \end{align*}$ ist gesucht.

18.07.2017, 16:49

Roland Gazi

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RE: Geometrie: Quader
@Leopold: die Formel kannte ich so noch nicht, deswegen habe ich es versucht mit einem "Beispiel". Schlussendlich beweist mein Beispiel die Formel, die du gepostet hast.

Kannst du evtl.noch ein Tipp für die b) geben?

18.07.2017, 17:27

Leopold

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RE: Geometrie: Quader

Zitat:

Original von Roland Gazi
Schlussendlich beweist mein Beispiel die Formel, die du gepostet hast.

Ein Beispiel ist immer nur ein Beispiel und beweist gar nichts. Und zwar wirklich gar nichts. Allerdings ist ein Beispiel deshalb nicht nutzlos. Es kann sogar sinnvoll sein, sich Beispiele zu betrachten. Aber nur in dem Sinn, daß man damit Vermutungen erhält und Ideen, wie man einen Beweis aufbauen könnte.
Die Formel, die ich angegeben habe, ist kein Wunderding, das vom Himmel fällt, sondern einfach nur das, was man erhält, wenn man $\begin{align*} (a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c) \end{align*}$ nach den Regeln der Kunst fleißig ausmultipliziert und zusammenfaßt, so eine Art "trinomische Formel". Rechne das nach. Die Formel gilt für beliebige reelle Zahlen, zum Beispiel auch negative. Sie ist keine spezielle Formel für den Quader, sondern eine allgemeingültige Umformung der Algebra. Erst durch die Deutung von einzelnen Teilen der Formel als Größen am Quader wird daraus eine Quaderformel.

Zitat:

Original von Roland Gazi
Kannst du evtl.noch ein Tipp für die b) geben?

Die Randpunkte zweier Raumdiagonalen eines Quaders bestimmen ein Rechteck. In diesem Rechteck sind die Raumdiagonalen des Quaders die Diagonalen des Rechtecks. Und die Diagonalen eines Rechtecks stehen nur dann senkrecht aufeinander, wenn das Rechteck ein Quadrat ist.

Das sollte dir helfen, die Aufgabe zu lösen. Es ist übrigens nicht egal, welche Raumdiagonalen des Rechtecks man aussucht. Wenn man zwei findet, die sich unter 90° schneiden, schneiden sich entweder zwei andere unter 81,5° und zwei weitere unter 31,6° oder es schneiden sich zwei andere unter 62,6° und zwei weitere unter 57,3°.

18.07.2017, 17:32

Roland Gazi

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RE: Geometrie: Quader
Stimmt, drücke mich ungeschickt aus. Danke dir für die Hinweise! Habe mir soeben die Herleitung der Formel angechaut und muss dir zustimmen. Etwas nachdenken schadet auch mir nicht..

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