Betragsungleichung Rechenzeichen

18.07.2017, 18:47

Maaike

Betragsungleichung Rechenzeichen

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine Verständnisfrage zur Betragsungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|x-4|} \leq |x-2| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\in ]-\infty ;2] \end{eqnarray*}$
x-4-------------- minus
x-2-------------- minus

Bei 1. Fall $\begin{eqnarray*} x\in ]-\infty ;2] \end{eqnarray*}$

Wieso ändert sich das Ungleichungszeichen nicht?
$\begin{eqnarray*} 1 \leq -(x-2)*-(x-4) \end{eqnarray*}$

Ich multipliziere ja -(x-4)

Laut Musterlösung ändert es sich nicht.

Kann es sein das sich das irgendwie aufhebt, da ich den Betrag und den Nenner als negativ betrachte?
Ich hoffe ihr versteht was ich meine.

Meine Ideen:
-

18.07.2017, 19:21

G180717

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RE: Betragsungleichung Rechenzeichen
Wegen des Betrages multiplizierst du immer mit einer positiven Zahl.
Warum sollte sich das Ungleichheitszeichen also ändern? smile

18.07.2017, 20:05

Maaike

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RE: Betragsungleichung Rechenzeichen
hi,
muss ich nicht bei Beträgen eine Fallunterscheidung machen?

18.07.2017, 20:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Maaike
muss ich nicht bei Beträgen eine Fallunterscheidung machen?

Nur weil das in vielen Fällen der Betragsauflösung so gemacht wird, ist das noch lange keine in Stein gemeißelte Regel. Augenzwinkern

Zweckmäßig wäre hier folgendes Vorgehen: In einem ersten Schritt multipliziert man mit $\begin{align*} |x-4|>0 \end{align*}$ , bei einer solchen Multiplikation mit einer positiven Zahl ändert sich das Relationszeichen nicht. Es folgt

$\begin{align*} 1 \leq |x-4|\cdot |x-2| = \left| (x-4)(x-2) \right| = \left| (x-3)^2-1 \right| \end{align*}$ ,

jetzt erst würde ich den Betrag auflösen.

24.07.2017, 11:10

Lucas7

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Wann weiß ich ob ich erst umstellen muss oder ob ich direkt die Beträge auflösen kann?
Gibt es da villt eine Regel?

Danke

24.07.2017, 11:55

HAL 9000

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Das sind Erfahrungswerte. Du kannst durchaus deinen Weg der Fallunterscheidung gehen (wenn du ihn richtig durchführst), er dauert nur etwas länger, weil er unnötig umständlich ist. Ich hab deswegen ja auch nur gegen dein "muss" votiert - es gibt eben mehrere Wege, zum Ziel zu kommen.

24.07.2017, 12:11

Lucas7

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Zum Verständnis:

Wenn ich im Nenner einen Betrag habe zb:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{|1-x|}\geq 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2Fall x\in ]-1;\infty [ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{-(1-x)}\geq 3 \end{eqnarray*}$

Das Rechenzeichen ändert sich nicht wenn ich * -(1-x) nehme, da es ein Betrag ist, richtig?

24.07.2017, 12:20

HAL 9000

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Die Fallunterscheidung richtet sich hier nach dem Vorzeichen von $\begin{align*} 1-x \end{align*}$ und lautet damit

1.Fall $\begin{align*} 1-x>0 \end{align*}$ : Umgestellt $\begin{align*} x<1 \end{align*}$ oder auch $\begin{align*} x\in (-\infty,1) \end{align*}$ geschrieben.

Hier ist $\begin{align*} |1-x| = 1-x \end{align*}$ .

2.Fall $\begin{align*} 1-x<0 \end{align*}$ : Umgestellt $\begin{align*} x>1 \end{align*}$ oder auch $\begin{align*} x\in (1,\infty) \end{align*}$ (also nicht $\begin{align*} (-1,\infty) \end{align*}$ wie bei dir) .

Hier ist $\begin{align*} |1-x| = -(1-x) \end{align*}$ , und das kann man so im Nenner des Bruchs links einsetzen. Das Relationszeichen $\begin{align*} \geq \end{align*}$ ändert sich durch solches bloßes Einsetzen natürlich nicht!

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