Taylorentwicklung / Taylorreihe

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karimbk Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorentwicklung / Taylorreihe
Meine Frage:
Hi!

Ich habe Probleme bei der Taylorentwicklung und zwar, was ist die Taylorentwicklung von f(x0+h) ?

Wenn ich die Formel aus Wikipedia (steht im Anhang) auf (x0+h) anwende, würde ich sowas bekommen:



Was aber auf der Vorlesungsfolie steht, könnt ihr auf den 2. Anhang finden.



Meine Ideen:

Wie kommt er darauf? Welche Formel wurde angewendet?
Warum erhält er nur f(x0) und nicht f(x0+h), wenn die um die Stelle "x0+0" und nicht "x0" entwickeln? und warum auf der Vorlesungsfolie "*h" bzw "*(h)^2" , "*(h)^3" und nicht "*(x-x0-h)" bzw. "*(x-x0-h)^2" etc.. wie die Formel von Wikipedia?

Ich schreibe eine wichtige Prüfung übermorgen, und wäre für jede Erklärung sehr dankbar!

LG
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion wurde um die Stelle in eine Taylorreihe entwickelt, das liefert
.
Anschliessend wurde das für ausgewertet und Du erhälst
.
karimbk Auf diesen Beitrag antworten »
Verfahrensordnung
Danke für die Antwort!

So weit so gut.. Aber wie weiß ich, ob ich bei O(h^4) aufhöre, oder noch ein Glied hinzufüge? z.B. bei der Lösung, hat er aufgehört sowohl bei f(x0+h) als auch bei f(x0-2h) der dritten Ableitung von f, und dann natürlich fügt man den Restglied O(h^4).

Wie kann ich wissen, wann ich aufhöre? Vielleicht würde ich ja noch eine Ableitung hinzufügen. Und das habe ich probiert, und bin bis zum 4. Ableitung von f gekommen, danach habe ich den Restglied O(h^5) hinzugefügt.

Nach meiner Berechnung, hat der Verfahren Ordnung 3.

Nach seiner Lösung (bis zum 3. Ableitung), hatte er Ordnung 2.

Wenn ich sowas in der Prüfung berechne, würde der Prof. meine Lösung trotzdem als richtig benoten? Ich habe dann Ordnung 3, und seine Musterlösung Ordnung 2.

PS: Die Ordnung bekommt man dadurch, dass man ("Potenz vom Restglied" -1) berechnet. Oder habe ich falsch verstanden?

Anbei meine die Musterlösung und meine Lösung. (Hoffentlich kann man meine Schrift noch lesen :-/)

Danke im Voraus!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von karimbk
Nach meiner Berechnung, hat der Verfahren Ordnung 3.

Nach seiner Lösung (bis zum 3. Ableitung), hatte er Ordnung 2.

Wenn ich sowas in der Prüfung berechne, würde der Prof. meine Lösung trotzdem als richtig benoten? Ich habe dann Ordnung 3, und seine Musterlösung Ordnung 2.

Wenn wir über die Konsistenzordnung reden, dann liegt gemäß des Ergebnisses



die Ordnung 2 vor. Das ist i.a. nicht dasselbe wie die Ordnung der Taylorentwicklung, die du zur Erzielung dieses Ergebnisses benötigt hast - aufpassen!


Zitat:
Original von karimbk
Aber wie weiß ich, ob ich bei O(h^4) aufhöre, oder noch ein Glied hinzufüge? z.B. bei der Lösung, hat er aufgehört sowohl bei f(x0+h) als auch bei f(x0-2h) der dritten Ableitung von f, und dann natürlich fügt man den Restglied O(h^4).

Wie kann ich wissen, wann ich aufhöre?

Ohne eine gewisse Erfahrung: Von vornherein gar nicht.

Wenn du zuwenig Glieder in der Taylorentwicklung berücksichtigst, dann siehst du das letzten Endes an einem "unzureichenden" Ergebnis. Wenn du etwa oben die Taylorentwicklung bei abgebrochen hättest, dann stünde am Ende da



Dann weißt du zwar, dass der Fehler maximal ist, aber es ist nicht klar, ob er nicht womöglich sogar noch kleiner ist, also oder gar usw. Daher ist aus (**) nur ablesbar, dass die Konsistenzordnung mindestens 2 ist. Die Information, dass sie auch wirklich genau 2 ist, die liefert erst (*).
karimbk Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so! Jetzt versteh ich.

Vielen Dank!!

Also, wenn ich richtig verstanden habe, wenn ich am Ende das Ergebnis (**) bekomme, hat das Verfahren auch Ordnung 2. Aber es könnte auch Ordnung 3 oder mehr sein. Dann muss ich zurück zu meiner Taylor-Entwicklung gehen, und andere Glieder hinzufügen, und dann ausrechnen, und schauen ob sich (**) ändert. Wenn es sich ändert, und nach dem Ausrechnen, bekommen wir noch ein Glied am Ende in (**), dann könnten wir 3 Fälle haben:

z.B.

1) Ein Glied der Form ((f'''/6) * h) ---> dann haben wir Ordnung 1.
2) Ein Glied der Form ((f'''/6) * h^2) ---> dann haben wir Ordnung 2, und was wir in (**) davor hatten (nur O(h^2)) war richtig --> Fehler kleiner aber immerhin, Ordnung 2.
3) Ein Glied der Form ((f'''/6) * h^3 oder * h^4) --> dann haben wir immer noch Ordnung 2.

Richtig verstanden?

Und noch eine extra Frage: Muss ich bei f(x0+h) und f(x0-2h) bis zur gleichen Ableitunganzahl kommen? bzw. beide sollte ich z.B bis zum 3. Ableitung entwickeln, dann füge ich den Restglied O(h^4) oder was auch immer.. Also, nicht die eine bis zum 3. Ableitung und die andere bis zum 4. oder 5.? Muss die Anzahl gleich sein, damit man ein richtiges Ergebnis bekommen kann?

Danke im Voraus!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von karimbk
3) Ein Glied der Form ((f'''/6) * h^3 oder * h^4) --> dann haben wir immer noch Ordnung 2.

Richtig verstanden?

Nicht so ganz, zumindest 3) klingt etwas verworren, um nicht zu sagen falsch. Wenn wir Ergebnis



gehabt hätten, dann wäre die Ordnung des Verfahrens 3 gewesen - maßgeblich ist von allen Gliedern des Fehlerterm dasjenige mit dem niedrigsten -Exponent, und dieser Exponent ist die Ordnung des Verfahrens.



Anderes Beispiel, diesmal "echt" die Rechnung von oben, nur diesmal mit Taylorreihe bis zu Glied 4 statt 3. Da kommt dann raus

.

Die Ordnung des Verfahrens ist nach wie vor 2, daran ändert das zusätzliche Glied des Fehlerterms nichts, denn dieses Glied geht schneller gegen Null als und ist deshalb für das Konvergenzverhalten des gesamten Fehlerterms bei nicht maßgeblich. D.h., dieser größere Tayloransatz war nicht falsch, man kann letztlich auch das korrekte Ergebnis ablesen, man hat sich nur etwas mehr Arbeit gemacht als eigentlich nötig war. Augenzwinkern
 
 
karimbk Auf diesen Beitrag antworten »

Mega vielen Dank! Super Erklärung!

Und zur Extrafrage von oben? und zwar:

"Und noch eine extra Frage: Muss ich bei f(x0+h) und f(x0-2h) bis zur gleichen Ableitunganzahl kommen? bzw. beide sollte ich z.B bis zum 3. Ableitung entwickeln, dann füge ich den Restglied O(h^4) oder was auch immer.. Also, nicht die eine bis zum 3. Ableitung und die andere bis zum 4. oder 5.? Muss die Anzahl gleich sein, damit man ein richtiges Ergebnis bekommen kann? "
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von karimbk
Muss ich bei f(x0+h) und f(x0-2h) bis zur gleichen Ableitunganzahl kommen? bzw. beide sollte ich z.B bis zum 3. Ableitung entwickeln, dann füge ich den Restglied O(h^4) oder was auch immer..

"Muss" nicht, aber anders macht es kaum Sinn: Wenn du den einen Summand bis entwickelst mit Restglied , den anderen aber sogar bis mit Restglied , dann "verschwindet" dieser -Term in des ersten Summanden, man hätte diesen -Term sich also gleich sparen können.

D.h., derart ungleichmäßiges Entwickeln ist wiederum kein Fehler, aber sinnlose Mehrarbeit.
karimbk Auf diesen Beitrag antworten »

Okay! Alles klar! Danke dir!

Du hast keine Ahnung, wie du mir gerade geholfen hast!
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