Term mit Potenzen kürzen

19.07.2017, 17:32

Mumpitz02

Term mit Potenzen kürzen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe die Lösung einer Termumformung gegeben. Trotz aller Versuche kann ich leider nicht nachvollziehen, wie man von

$\begin{eqnarray*} (1-2\pi )^g*(u+v)*\pi ^{u+v-1} = 2\pi ^{u+v}*g*(1-2\pi )^{g-1} \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} (1-2\pi )*(u+v) = 2\pi*g \end{eqnarray*}$

kommt.

Lösungsansatz siehe Idee. Falls die Idee sogar richtig ist, würde ich trotzdem gerne die Zwischenschritte wissen, die zur genau gleichen Lösung wie angegeben führen, da mein Ergebnis ja anders ist, man damit jedoch noch weiterrechnen muss. Kann da jemand freundlicherweise helfen?
Vielen Dank!
VG
Mumpitz

Meine Ideen:
jede Seite zusammenfassen, sodass sich eine gleiche Potenz bildet:
$\begin{eqnarray*} ((1-2\pi)*(u+v)*\pi))^{g+u+v-1+1} = (2\pi*g*(1-2\pi))^{u+v+g-1+1} \end{eqnarray*}$

dann die Potenzen durch Wurzelziehen rauskürzen:
$\begin{eqnarray*} (1-2\pi)*(u+v)*\pi = 2\pi*g*(1-2\pi) \end{eqnarray*}$

und zuletzt auf beiden Seiten identische Faktoren kürzen:
$\begin{eqnarray*} (u+v) = \pi*g \end{eqnarray*}$

19.07.2017, 17:43

G190717

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RE: Term mit Potenzen kürzen
Kürze auf beiden Seiten mit : (1-2pi)^(g-1)*pi^(u+v-1)

Du musst nur Potenzgesetzs anwenden.

19.07.2017, 18:03

Mumpitz02

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RE: Term mit Potenzen kürzen
Habs, danke sehr!
Ist in den Schritten in meinem Lösungsansatz ein Fehler oder wäre das auch ein Weg?

19.07.2017, 18:20

klarsoweit

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RE: Term mit Potenzen kürzen

Zitat:

Original von Mumpitz02
Meine Ideen:
jede Seite zusammenfassen, sodass sich eine gleiche Potenz bildet:
$\begin{eqnarray*} ((1-2\pi)*(u+v)*\pi))^{g+u+v-1+1} = (2\pi*g*(1-2\pi))^{u+v+g-1+1} \end{eqnarray*}$

Ich weiß ja jetzt nicht, was du da gemacht hast, aber dir ist schon klar, daß $\begin{eqnarray*} ((1-2\pi)*(u+v)*\pi))^{g+u+v-1+1} \neq (1-2\pi )^g*(u+v)*\pi ^{u+v-1} \end{eqnarray*}$ ist?

19.07.2017, 18:28

Mumpitz02

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RE: Term mit Potenzen kürzen
Ich hatte angenommen, dass
$\begin{eqnarray*} a^m*b^n=(a*b)^{m+n} \end{eqnarray*}$
aber dann hab ich die Potenzregeln wohl falsch interpretiert.

Kann man
$\begin{eqnarray*} a^m*b^n \end{eqnarray*}$
auch nicht anders zusamenfassen?

19.07.2017, 19:11

HAL 9000

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Was du hier benötigst, ist schlicht die Potenzregel $\begin{align*} a^{b+c} = a^b\cdot a^c \end{align*}$ , und das gleich mehrfach:

1) Für $\begin{align*} a=(1-2\pi) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} b=g-1 \end{align*}$ und $\begin{align*} c=1 \end{align*}$ ergibt das

$\begin{align*} (1-2\pi)^{g-1}\cdot (1-2\pi) = (1-2\pi)^g \end{align*}$ , unter Beachtung von $\begin{align*} (1-2\pi)^1 = (1-2\pi) \end{align*}$ beim zweiten Faktor.

2) Für $\begin{align*} a=\pi \end{align*}$ sowie $\begin{align*} b=u+v-1 \end{align*}$ und $\begin{align*} c=1 \end{align*}$ ergibt sich entsprechend $\begin{align*} \pi^{u+v-1}\cdot \pi = \pi^{u+v} \end{align*}$ .

Beides in

$\begin{align*} {\color{red}(1-2\pi)^g} \cdot (u+v)\cdot \pi^{u+v-1} = 2{\color{blue}\pi^{u+v}}\cdot g\cdot (1-2\pi )^{g-1} \end{align*}$

eingesetzt ergibt

$\begin{align*} {\color{red}(1-2\pi)^{g-1}\cdot (1-2\pi)} \cdot (u+v)\cdot \pi^{u+v-1} = 2{\color{blue}\pi^{u+v-1}\cdot \pi}\cdot g\cdot (1-2\pi )^{g-1} \end{align*}$ .

Und nun kannst du $\begin{align*} (1-2\pi)^{g-1}\cdot \pi^{u+v-1} \end{align*}$ auf beiden Seiten rauskürzen.

P.S.: Das war jetzt die megaausführliche Variante von

Zitat:

Original von G190717
Kürze auf beiden Seiten mit : (1-2pi)^(g-1)*pi^(u+v-1)

19.07.2017, 19:38

Helferlein

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RE: Term mit Potenzen kürzen

Zitat:

Original von Mumpitz02
Ich hatte angenommen, dass
$\begin{eqnarray*} a^m*b^n=(a*b)^{m+n} \end{eqnarray*}$
aber dann hab ich die Potenzregeln wohl falsch interpretiert.

Dass das nicht stimmt, kannst Du Dir an einfachen Beispielen selber überlegen.
zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} 2^2\cdot 2^2 = 4\cdot4=16 = 2^4 \neq 4^4 = (2 \cdot 2)^{2+2} \end{eqnarray*}$

19.07.2017, 19:47

Mumpitz02

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RE: Term mit Potenzen kürzen
Macht Sinn, vielen Dank!

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