Vereinigung von einem Vektor mit einer linearen Hülle??

19.07.2017, 19:39	Balu2701	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung von einem Vektor mit einer linearen Hülle?? Meine Frage: Hi zusammen, Pünktlich zur Prüfung würde ich noch einmal kräftig verunsichert. Eine Aufgabe einer Probeklausur lautet wie folgt Seien $\begin{eqnarray} V= \left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}W= Span \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ ist dann $\begin{eqnarray} U=V\bigcup W \end{eqnarray}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ ? Unser Dozent meinte wohl heute das U kein Unterraum ist, ich war allerdings der Meinung es ist so. Meine Ideen: Mein Ansatz: Annahme: Da der Vektor in der linearen Hülle von W linear abhängig ist lässt sich W auch als $\begin{eqnarray} W= Span \left\{\alpha\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\| \alpha , \beta \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ schreiben, wobei für Alpha und Beta natürlich 1 die einzige Möglichkeit wäre. Die Frage an dieser Stelle ist schon mal ob man den Vektor aus V in die lineare Hülle überführt oder die Vektoren aus der Hülle raus nimmt - sprich ob die Hülle erhalten bleibt. Ich würde meinen schon daher sieht U bei mir so aus $\begin{eqnarray} U= Span \left\{\alpha\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} +\gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \| \alpha , \beta \gamma \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ Ich denke der Ansatz ist verständlich und ich kann mir den Beweis des Erfülltseins von Kriterien sparen da es ersichtlich ist das wir die Basisvektoren haben. Nach dieser Ausführung wäre die Antwort ja es ist ein UVR und außerdem eine Basis, ein EZS und linear unabhängig Ist das richtig?
19.07.2017, 19:44	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz für W ist schon falsch. Wieso sollte ein eindimensionaler Raum durch zwei linear unabhängige Vektoren erzeugbar sein?
19.07.2017, 19:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage "Untervektorraum" lässt sich ganz schnell erledigen: Es ist $\begin{align} \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\in U \end{align}$ . Wenn es ein Untervektoraum wäre, müsste auch $\begin{align} 2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix} \end{align}$ in $\begin{align} U \end{align}$ liegen, was aber nicht der Fall ist - fertig.
19.07.2017, 21:25	boris602	Auf diesen Beitrag antworten »
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3...ktorr%C3%A4umen Hier gibt es sogar einen "richtigen" Beweis zu deiner Frage
19.07.2017, 22:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei es hier ja nicht mal um die Vereinigung zweier Untervektorräume geht, denn $\begin{align} V \end{align}$ ist ja gar kein solcher.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »