Integration 255/4*cos(x)sin(x)

20.07.2017, 15:33

DerMaschbaustudent

Integration 255/4*cos(x)sin(x)

Guten Tag ich habe eine Frage zu einer Integration.

Ich habe ein Integral gegeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{255}{4}\int_\frac{\pi }{2}^\frac{-\pi }{2} \! cos(x)*sin(x) \, \dd x \end{eqnarray*}$

Dann habe ich überlegt, das ich einen Faktor substituiere:

$\begin{eqnarray*} u=cos => \frac{du}{dx}=-sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => dx=\frac{-du}{sin(x)} \int_a^b \! u*sin(x)*\frac{1}{-sin(x)} \, \dd u =>\frac{-u^2}{2} + C \end{eqnarray*}$
u einsetzen
$\begin{eqnarray*} => \frac{-cos^2(x)}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt mein Problem.

Ich habe das Integral mal durch nen Integrationsrechner gejagt und komme dabei auf:
$\begin{eqnarray*} \frac{-cos(2x)}{4} \end{eqnarray*}$

Und laut partitieller Integration über $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! u(x)*v'(x) \, \dd x = u(x)*v(x)-\int_a^b \! u'(x)*v(x) \, \dd x \end{eqnarray*}$
komme ich auf
$\begin{eqnarray*} -cos^2(x)-\int_a^b \! -sin(x)*cos(x) \, \dd x \end{eqnarray*}$

Wie kann es sein, dass ich für das gleiche Integral auf drei verschiedene Lösungen komme?

20.07.2017, 15:42

Helferlein

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Beim letzten hast Du ein Vorzeichenfehler. Ansonsten sind die Lösungen ineinander überführbar, denn es gilt $\begin{eqnarray*} cos(2x)=2cos^2x-1 \end{eqnarray*}$

20.07.2017, 15:42

klarsoweit

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RE: Integration 255/4*cos(x)sin(x)

Zitat:

Original von DerMaschbaustudent
Und laut partitieller Integration über $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! u(x)*v'(x) \, \dd x = u(x)*v(x)-\int_a^b \! u'(x)*v(x) \, \dd x \end{eqnarray*}$
komme ich auf
$\begin{eqnarray*} -cos^2(x)-\int_a^b \! -sin(x)*cos(x) \, \dd x \end{eqnarray*}$

Nun ja, das ist aber noch keine fertige Lösung, denn du hast da ja immer noch ein Integral drin.

Prinzipiell solltest du aber wissen, daß ein Integrand mehrere Stammfunktionen hat, die sich alle um eine Konstante unterscheiden. Augenzwinkern

20.07.2017, 15:51

klauss

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RE: Integration 255/4*cos(x)sin(x)
Ich hoffe, es handelt sich wenigstens um eine Aufgabe, mit der Integrationstechnik geübt werden soll. Das zahlenmäßige Ergebnis läßt sich nämlich bereits durch genaues Hinsehen erkennen. Augenzwinkern

20.07.2017, 16:24

DerMaschbaustudent

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@klarsoweit

Es war an der stelle noch nicht fertig gerechnet, jedoch habe ich nach der partiellen Ableitung ja immer da stehen $\begin{eqnarray*} -n*cos^2(x) - \int_a^b \! \pm sin(x)*cos(x) \, \dd x \end{eqnarray*}$ .
Also werde ich m. M. n. mein Integralanteil niemals los.

@klauss

Das habe ich dann auch beim Zeichnen vor dem geistigen Auge gemerkt. Der y-Achsenabschnitt für $\begin{eqnarray*} \pm n*\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ bei einer Cosinusfunktion ist immer 0.
Jedoch muss ich es für die Klausur errechnen können.

20.07.2017, 16:40

Helferlein

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RE: Integration 255/4*cos(x)sin(x)
Anscheinend ist mein Hinweis mit dem Vorzeichenfehler überlesen worden. Daher noch einmal im Klartext:

Mit $\begin{eqnarray*} u(x)=cos(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} u'(x)=-sin(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x)=-cos(x) \end{eqnarray*}$ .
Die partielle Integration ergibt also

$\begin{eqnarray*} \int cos(x)sin(x) dx = -cos^2(x)-\int(-sin(x)(-cos(x))dx = -cos^2(x)-\int sin(x)cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

Das nach dem gesuchten Integral umgeformt ergibt genau deine erste Lösung.

20.07.2017, 17:18

DerMaschbaustudent

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Ah ok. ich glaube jetzt habe ich es verstanden.

Also ist:
$\begin{eqnarray*} \int \! cos(x)sin(x) \, \dd x=-cos^2(x) - \int \! sin(x)cos(x)\, \dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \! cos(x)sin(x) \, \dd x +\int \! sin(x)cos(x)\, \dd x = -cos^2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2* \int \! sin(x)cos(x)\, \dd x = -cos^2(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \! sin(x)cos(x)\, \dd x = \frac{-cos^2(x)}{2} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

20.07.2017, 18:38

mYthos

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Du hast noch die Integrationskonstante dazuzuschreiben, ansonsten stimmt es.

Mir ist allerdings nicht klar, warum das so umständlich gerechnet wird!
Es ist

$\begin{eqnarray*} \cos x \sin x = \frac 1 2 \sin 2x \end{eqnarray*}$

und eine Stammfunktion davon einfach

$\begin{eqnarray*} - \frac 1 4 \cos 2x \end{eqnarray*}$

mY+

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