Faktormoduln & Frobenius-Normalform

22.07.2017, 23:59	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktormoduln & Frobenius-Normalform Hi, ich versuche gerade ein Beispiel aus meinem Skript zur linearen Algebra II zu verstehen. Es geht um Folgendes: Wir betrachten $\begin{align} V:= \mathbb R [x] / ((x^2 +1)^2) \end{align}$ sowohl als $\begin{align} \mathbb R [x] \end{align}$ -Modul, als auch als $\begin{align} \mathbb R \end{align}$ -Vektorraum. Wir nehmen noch die Abbildung $\begin{align} \mathcal A : V \to V, ~ v \mapsto xv \end{align}$ . Dann wird gesagt, dass es eine $\begin{align} \mathbb R \end{align}$ -Basis von $\begin{align} V \end{align}$ gibt, sodass die darstellende Matrix von $\begin{align} \mathcal A \end{align}$ genau $\begin{align} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1& 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$ ist, begründet mit der (zweiten) Frobenius-Normalform, und damit, dass $\begin{align} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$ die Begleitmatrix von $\begin{align} x^2 +1 \end{align}$ ist. Ferner wird behauptet, die hier verwendete Basis sei $\begin{align} \overline 1, ~ \overline x , ~ \overline {x^2+1}, ~ \overline {(x^2+1)\cdot x } \end{align}$ . Ich verstehe hier relativ wenig. Schwierigkeiten habe ich schon mit dem Faktormodul. $\begin{align} \mathbb R [x] \end{align}$ ist ein $\begin{align} \mathbb R [x] \end{align}$ -Modul, und $\begin{align} (x^2+1)^2 \cdot \mathbb R [x] \end{align}$ ein Untermodul, sodass $\begin{align} V = \{ p + (x^2+1)^2 \cdot \mathbb R [x] \mid p \in \mathbb R [x] \} \end{align}$ ein Faktormodul wird, oder? (Dabei habe ich die Notation analog zum Restklassenring interpretiert: $\begin{align} \mathbb Z / (m) = \mathbb Z / m \mathbb Z \end{align}$ . Stimmt das auch hier?) Wieso bilden nun die oben angegeben Elemente aus $\begin{align} V \end{align}$ eine Basis? So, mal angenommen, ich verstünde, wieso das eine Basis bildet, und möchte jetzt die darstellende Matrix von $\begin{align} \mathcal A \end{align}$ berechnen. Die erste Spalte kann ich nachvollziehen: $\begin{align} \overline 1 \mapsto \overline x = 0 \cdot \overline 1 + 1 \cdot \overline x + 0 \cdot \overline{x^2 +1} + 0 \cdot \overline {(x^2 +1)\cdot x } \end{align}$ . Die zweite dann: $\begin{align} \overline x \mapsto \overline {x^2} = - \overline 1 + \overline {x^2 +1} \end{align}$ Die dritte verstehe ich auch noch, aber bei der vierten hakts. Es ist ja $\begin{align} \overline {(x^2+1)\cdot x } \mapsto \overline {(x^2+1)\cdot x^2 } \end{align}$ . Damit die Matrix passt, müsste also $\begin{align} \overline {(x^2+1)\cdot x } \mapsto \overline {(x^2+1)\cdot x^2 } = - \overline{ x^2+1} \end{align}$ gelten, oder? Wieso gilt das? Ich sehe auch, dass $\begin{align} x^2 +1 \end{align}$ irreduzibel in $\begin{align} \mathbb R [x] \end{align}$ ist. Auch sehe ich, dass daher die Form der darstellenden Matrix genau jene ist, die die Frobenius-Normalform verspricht. Was ich mich noch Frage ist, wie man genau auf dieses Polynom kommt. Und eine letzte Frage habe ich auch noch: Den Algorithmus zur Frobenius Normalform haben wir nicht behandelt. Gibt es einen anderen Weg, diese Basis direkt zu erraten? Oder gibt es einen anderen Grund, warum gerade dieses Beispiel interessant ist? Ich hoffe ihr könnt mir ein bisschen auf die Sprünge helfen.
23.07.2017, 11:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Über die Theorie (Frobenius-Normalform, Begleitmatrix) weiß ich nichts zu sagen, aber dass $\begin{eqnarray} dim(V)=4 \end{eqnarray}$ ist leuchtet ein, weil nach einem Polynom 4. Grades faktorisiert wird. Die 4 Polynome sind l.u., also bilden sie eine Basis. Die letzte Rechnung ergibt sich aus $\begin{eqnarray} (x^2+1)x^2=(x^2+1)(x^2+1)-(x^2+1)\equiv -(x^2+1) \end{eqnarray}$ .
23.07.2017, 12:23	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, das klingt sinnvoll, Danke! Wie bestimmt man im Allgemeinen die Dimension eines Faktormoduls? Kennst du vielleicht ein paar gute Übungsaufgaben zu Faktormoduln? Ich würde damit gerne ein bisschen sicherer umgehen können.
23.07.2017, 12:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder Vektorraum hat eine Basis, also hat jeder Vektorraum eine Dimension. Für Moduln ist das im allgemeinen nicht so: https://de.wikipedia.org/wiki/Dimension_eines_Moduls Übungsaufgaben kenne ich nicht. Faktorräume sind immer Faktormengen M/~ einer Menge M nach einer Äquivalenzrelation ~ auf der Menge M, die mit den Operationen der Räume verträglich sind. Die strukturverträglichen Äquivalenzrelationen heißen Kongruenzrelationen. Hier noch etwas über Faktorringe: https://de.wikipedia.org/wiki/Faktorring Der Faktorring eines Polynomrings nach einem Hauptideal p wird vermutlich von Grad(p) Elementen erzeugt (ohne Gewähr, denn Ringe sind nicht mein Spezialgebiet, mehr fällt mir momentan nicht dazu ein).
23.07.2017, 12:57	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, Danke. Dimension von Moduln und von Vektorräumen scheinen dann ja eher nicht vergleichbar. Ah, ok. Das wäre hier anwendbar, da $\begin{align} \mathbb R [x] \end{align}$ ja eigentlich der Ring selbst, und dann $\begin{align} (x^2 +1)^2 \cdot \mathbb R [x] \end{align}$ ein Ideal ist, nicht wahr?
24.07.2017, 08:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist ein Ring und ein Hauptideal.
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