Flächeninhalt in Abhängigkeit von x, y und phi

23.07.2017, 13:54

Tobi97

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Flächeninhalt in Abhängigkeit von x, y und phi

Meine Frage:
Hallo zusammen, es soll der Flächeninhalt einer Figur in Abhängigkeit von x, y und phi geschrieben werden. Es handelt sich um ein Rechteck mit Grundseite x, den Seiten y und "einem gleichschenkligen Dreieck drauf". Der Winkel zwischen einem Schenkel und dem Rechteck ist phi.

Ich habe ehrlich gesagt keine wirkliche Idee wie ich jetzt vorgehen muss.

Meine Ideen:
Ich wüsste wie ich das ganze z.B. bei einem Dreieck in Abhängigkeit von x über das Skalarprodukt ausrechnen könnte.

Aber mir fällt nicht wirklich ein, wie ich dies als Funktion von mehreren Variablen machen soll.

Könnte mir vielleicht jemand mit dem Ansatz helfen?

Liebe Grüße und Danke!!!

23.07.2017, 15:53

mYthos

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Ziehe von der Spitze des Dreieckes die Höhe auf die Rechteckseite.
Dadurch zerfällt das gleichschenkelige Dreieck in zwei rechtwinkelige, mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} \frac {\varphi} 2 \end{eqnarray*}$ und einer Kathete $\begin{eqnarray*} \frac x 2 \end{eqnarray*}$ .
Mittels einer Winkelfunktion kannst du die Höhe nun in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ausdrücken ...

mY+

23.07.2017, 17:55

Tobi97

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Okay, das habe ich jetzt gemacht. (Wobei ich nicht ganz sicher bin, woher die phi/2 kommen, dann ich ja nicht diesen Winkel halbiere)

Ich komme danit auf $\begin{eqnarray*} h=tan(phi/2)*2x \end{eqnarray*}$ und damit auf $\begin{eqnarray*} A=x*y+x^2*tan(phi/2) \end{eqnarray*}$

Aber ist damit die Aufgabenstellung erfüllt verwirrt

verwirrt

Unser Thema im Moment war die meiste Zeit über Funktionen mehrerer Variablen, Richtungsableitungen etc.

Vielen Dank soweit

23.07.2017, 18:22

Tobi97

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Okay, da kommt wohl Aufgabe b ins Spiel, wo der maximale Flächeninhalt bei festem Umfang L berechnet werden soll. Ich vermute da muss ich keitische Punkte mit Nebenbedingung suchen und dazu das Lagrange Verfahren benutzen?

Aber ich denke der Winkel im Dreieck bleibt phi und nicht phi/2 oder verwirrt

verwirrt

23.07.2017, 21:10

mYthos

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Der Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ an der Spitze des gleichschenkeligen (!) Dreieckes wird durch die Senkrechte (Höhe) halbiert!
Nenne diesen zur einfacheren Rechnung einfach $\begin{eqnarray*} \alpha \ ; \ \alpha = \frac{\varphi} 2 \end{eqnarray*}$

Dein Resultat für $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ stimmt nicht, offensichtlich hast du die Gleichung mit dem Tangens falsch umgeformt. Rechne nochmals!

Bei gegebenem Umfang ist dieser die Nebenbedingung, dazu musst du noch die Schenkellänge (b) des Dreieckes berechnen (mittels $\begin{eqnarray*} \sin \alpha \end{eqnarray*}$ ).
Du kannst entweder mit dem Lagrange-Multiplikator rechnen oder auch klassisch, mit dem Übergang auf eine Funktion mit nur einer Variablen aus der Nebenbedingung.

mY+

23.07.2017, 21:22

willyengland

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Zitat:

Original von Tobi97
Der Winkel zwischen einem Schenkel und dem Rechteck ist phi.

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24.07.2017, 15:22

mYthos

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Ach so. Skizze wäre hilfreicher gewesen ...
Ändert aber nichts an dem Lösungsweg! Und dein Teilergebnis für $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ stimmt dann auch noch immer nicht!

$\begin{eqnarray*} \tan \varphi = \frac h {\frac x 2} = \frac{2h} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = \frac x 2 \tan \varphi \end{eqnarray*}$

So. Das Weitere geht jetzt so, wie ich es dir schon gesagt habe:

Zitat:

Original von mYthos
...
Bei gegebenem Umfang ist dieser die Nebenbedingung, dazu musst du noch die Schenkellänge (b) des Dreieckes berechnen (mittels $\begin{eqnarray*} \cos \varphi \end{eqnarray*}$ * ).
Du kannst entweder mit dem Lagrange-Multiplikator rechnen oder auch klassisch, mit dem Übergang auf eine Funktion mit nur einer Variablen aus der Nebenbedingung.
...

(*) Winkel angepasst.

mY+

24.07.2017, 17:16

Tobi97

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Vielen Dank euch!

Ich komme für die Schenkel nun auf $\begin{eqnarray*} 2*cos(phi)/x \end{eqnarray*}$

Die Höhe entspricht $\begin{eqnarray*} tan(phi)*x/2 \end{eqnarray*}$

Der Umfang ist somit: $\begin{eqnarray*} x+2*y+2*(2cos(phi)/x) \end{eqnarray*}$

Der Flächeninhalt ist : $\begin{eqnarray*} x*y+x^2*tan(phi) \end{eqnarray*}$

Die Funktion deren Extrema ich suche ist somit: $\begin{eqnarray*} A(x,y,phi)= x*y+x^2*tan(phi) \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbed. : $\begin{eqnarray*} x+2y+4*(cos(phi)/x) =L \end{eqnarray*}$

Soweit korrekt?

24.07.2017, 18:19

mYthos

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Zitat:

Original von Tobi97
...
Ich komme für die Schenkel nun auf $\begin{eqnarray*} 2*cos(phi)/x \end{eqnarray*}$
...

Wie schaffst du immer wieder diese falschen Umformungen?!
Es ist doch

$\begin{eqnarray*} \cos \varphi = \frac x {2b} \end{eqnarray*}$
--------------------

Die Hauptbedingung stimmt nun.

mY+

25.07.2017, 10:36

Tobi97

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Das passiert mir immer wieder Hammer

Hammer

Sieht meine Nebenbedingung dann so aus: $\begin{eqnarray*} L=2y+x(1+1/(cos(phi)) \end{eqnarray*}$

Nehme ich das L einfach als Konstante mit beim Ableiten? Ja oder?

Ich habe noch eine allgemeine Frage dazu: Wenn ich jetzt die Extrema meiner Funktion berechnet habe, wie komme ich damit auf den maximalen Flächeninhalt verwirrt

verwirrt

25.07.2017, 11:23

mYthos

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L ist NICHT die Nebenbedingung, sondern die Lagrangefunktion L(x, y, ... ).
Die Nebenbedingung enthält den gegebenen Umfang, nenne ihn $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$

Ausserdem ist noch ein Fehler bei Flächenberechnung, den ich übersehen habe, die Fläche ist

$\begin{eqnarray*} A = xy + \frac {x^2} 4 \tan \varphi \end{eqnarray*}$

Die Nebenbedingung (ansonsten bei dir richtig berechnet) lautet, dass der Umfang der Figur gleich $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} x(1 + \frac 1 {\cos \varphi}) + 2y = u \end{eqnarray*}$

Die Lagrangefunktion ist letztendlich dann

$\begin{eqnarray*} L(x,y,\varphi,\lambda) = xy + x^2 \tan \varphi - \lambda (x + 2y + \frac x {\cos \varphi} - u) \end{eqnarray*}$

In der Klammer beim $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ steht die auf Null gebrachte Nebenbedingung, deshalb steht das $\begin{eqnarray*} -u \end{eqnarray*}$ noch dort.
Das Vorzeichen vor dem $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit + oder - sein, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ passt sich dann entsprechend an.

Nun sind die Ableitungen nach den drei Variablen zu bilden ...

mY+

25.07.2017, 12:13

Tobi97

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Vielen Dank für deine Hilfe!!! Ich gebe es jetzt glaube ich nichtsdestotrotz auf. Ableitungen bilden hat noch funktioniert, aber jetzt das Gleichungssystem lösen, erweist sich doch erheblich schwieriger als gedacht....

Liebe Grüße

25.07.2017, 12:42

mYthos

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Aufgeben tut man einen Brief oder ein Paket!
Wir können das zusammen machen. Wie sehen denn deine Ableitungen aus? Das System lösen ist dann nicht so schwierig, wie es anfangs aussieht!

Aus den Gleichungen (2) und (3) [diese entstehen aus den partiellen Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ] folgt nämlich sofort

$\begin{eqnarray*} x = 2\lambda \ ; \quad \sin \varphi = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Kommst du eventuell auch dorthin?

mY+

25.07.2017, 13:08

Tobi97

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$\begin{eqnarray*} <br /> Nach x: y+\frac{x*tan(phi}{2}+\lambda +\frac{\lambda }{cos(phi)} <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> Nach y : x+2\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> Nach phi: \frac{x^2}{4*cos^2(phi)} + \frac{\lambda*x*sin(phi}{cos^2(phi)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> Nach \lambda : x+2y+\frac{x}{cos(phi)} -u<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Hatte nur +lambda genommen, statt minus.

Die Ableitung nach y hab ich auch als erstes umgestellt, danach wurde es aber einfach nur extrem kompliziert und unübersichtlich und ich weiß nicjt, wie ich da irgendwelche Werte rausbekommen soll

25.07.2017, 14:23

mYthos

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Die Ableitungen stimmen alle, nun, das ist doch schon etwas!
Setze sie nun nacheinander Null.

Betrachte dabei die Zeilen 2 und 3, dabei solltest du erhalten:

$\begin{eqnarray*} (2) \ x = -2 \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) \ x^2 = -4 \lambda x \sin \varphi \end{eqnarray*}$
------------------------------------
$\begin{eqnarray*} x \neq 0 (!) \end{eqnarray*}$

(jetzt wirst du vielleicht verstehen, warum ich lieber $\begin{eqnarray*} - \lambda \end{eqnarray*}$ geschrieben habe, aber anyway (geht natürlich auch so) ...

Kommst du nun damit auf die vorhin geschriebenen Beziehungen?
Wenn ja, setze diese dann in die anderen beiden End-Gleichungen ein. Schreibe insbesondere

$\begin{eqnarray*} \sin \varphi = \frac 1 2 \ ; \ \quad \cos \varphi = \frac {\sqrt 3} 2 \ ; \quad \tan \varphi = \frac{\sqrt3} 3 \ ; \quad \frac 1 {\cos \varphi} = \frac 2 {\sqrt 3} = \frac {2 \sqrt3} 3 \ ; \quad 1 + \frac 1 {\cos \varphi} = \frac {3 + 2 \sqrt 3} 3 \end{eqnarray*}$

Frage: Wie kommt man von $\begin{eqnarray*} \sin \varphi = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ auf die anderen angeführten Beziehungen? Das solltest du nachvollziehen können.

mY+

27.07.2017, 12:45

Leopold

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Im Anhang eine dynamische Zeichnung mit Euklid.

27.07.2017, 13:50

mYthos

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Sieht sehr gut aus und bestätigt das Resultat.
Der Nachweis des Maximums mittels der Hesse-Matrix (gerändert oder nicht) ist ziemlich rechenintensiv.
Wenn das so nicht sein muss, ist mir der dynamische Beweis schon lieber Big Laugh

Big Laugh

mY+

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