Eigenschaft von Punktmengen im R hoch 2: Beschränktheit |
| 23.07.2017, 16:18 | vektorussy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Eigenschaft von Punktmengen im R hoch 2: Beschränktheit Wann ist eine Punktmenge im abgeschlossen und zugleich unbeschränkt? Meine Ideen: Definitionen der beiden Eigenschaften, lassen sich viele finden. Die Verknüpfung der beider verunsichert mich allerdings. Die einzige Möglichkeit hierfür, wären im doch nur Halbgeraden und Geraden, oder etwa nicht? Erbitte Hilfe! Vielen Dank im Voraus! |
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| 24.07.2017, 08:59 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Teilmenge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Beispiele sind der ganze Raum und abzählbare Vereinigungen abgeschlossener Teilmengen - damit lassen sich sehr viele unbeschränkte Teilmengen des finden. Zum Beispiel unbeschränkte diskrete Punktmengen, die beliebig verteilt sind. Zum Beispiel abgeschlossene "was auch immer", sie müssen nur für jeden Kreis um 0 noch Punkte enthalten, die außerhalb liegen. |
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| 24.07.2017, 11:38 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht jede abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Ich weiß nicht, ob du das sagen wolltest, aber es sieht sehr danach aus. |
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| 24.07.2017, 12:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das wollte ich selbstverständlich nicht damit sagen, denn das wäre ja falsch. 
Danke für den Hinweis. Ich präzisiere: Es gibt unendlich viele endliche Vereinigungen von unendlichen abgeschlossenen Teilmengen, die abgeschlossen und unbeschränkt sind. Es gibt unendlich viele abzählbare Vereinigungen von endlichen oder unendlichen abgeschlossenen Teilmengen, die abgeschlossen und unbeschränkt sind. (Die Relativsätze beziehen sich auf die Vereinigungen.) |
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| 25.07.2017, 09:29 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Beispiel zur Anregung der Phantasie: Nimm unser beschränktes Universum zum Zeitpunkt JETZT. Betrachte die Sterne in unserem Universum als abgeschlossene Kugeln, projiziere diese ca. 100 Milliarden Sterne mal ca. 100 Milliarden Galaxien in einer beliebigen Richtung in den , so dass der Mittelpunkt der Nullpunkt ist. Das Bild der Sterne ist beschränkt und abgeschlossen. Schließe das Bild in ein achsenparalleles Quadrat ein. Pflastere den vollständig mit achsenparallelen Kopien des Ursprungsquadrats. Der enthält damit unendlich viele abgeschlossene Kreise, die Vereinigung ist abgeschlossen und nicht beschränkt. 
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