Aussagenlogik: Zusammenhänge zwischen semantischer Folgerung und tautologischer Formel

25.07.2017, 15:26	hanskopf	Auf diesen Beitrag antworten »
Aussagenlogik: Zusammenhänge zwischen semantischer Folgerung und tautologischer Formel Meine Frage: Im Skript "Logik" gibt es einen Zusammenhang den ich nicht verstehe: Seien a und b aussagenlogische Formeln, dann gilt: Genau dann gilt a \|= b wenn a -> b tautologisch ist ( \|= bedeutet "semantisch"). Gegeben war die Wahrheitstafel von a -> b [attach]44953[/attach] und folgende Erklärung: Genau dann ist a -> b tautologisch, wenn I(a -> b) = 1 für alle Bewertungen ist. Dies ist Äquivalent dazu, dass es keine Bewertung mit I(a) = 1 und I(b) = 0 gibt, denn nur dann wäre I(a -> b) = 0. Das ist aber gerade zu a \|= b äquivalent. Meine Ideen: Was ist mit dem Fall I(a) = 0 und I(b) = 1? In dem Fall ist I(a -> b) = 1 aber b nicht semantisch mit a... Was habe ich übersehen?
13.10.2017, 22:18	GordyMehby	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussagenlogik: Zusammenhänge zwischen semantischer Folgerung und tautologischer Formel $\begin{eqnarray} A \Rightarrow B \equiv !A \vee B \end{eqnarray}$ Da die Implikation also die Literale mit einem Oder verknüpft, wertet die Wahrheitstabelle die Formel eben so. (Aussage wahr, wenn mind. 1 Teilaussage wahr ist.)
14.10.2017, 01:06	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
die Implikation ist keine Verknüpfung von logischgen Variablen sondern eine Relation. Die Subjunktion - wie im Bild zu sehen - ist eine Funktion. $\begin{eqnarray} a \to b \Leftrightarrow \lnot a \lor b \end{eqnarray}$ Diese Äquivalenz ( auch eine Relation !) ist korrekt, da $\begin{eqnarray} a \to b \leftrightarrow \lnot a \lor b \end{eqnarray}$ eine Tautologie ist. Die Wahrheitstabelle für $\begin{eqnarray} \lnot a \lor b \end{eqnarray}$ ist so gestrickt, dass für die Implikation $\begin{eqnarray} a \Rightarrow b \end{eqnarray}$ auch die Kontraposition gilt: $\begin{eqnarray} a \Rightarrow b \Leftrightarrow \lnot b \Rightarrow \lnot a \end{eqnarray}$ Wenn es regnet ist die Straße nass ist gleichwertig zu Wenn die Straße trocken ist regnet es nicht. die Fälle I(a)=0 , b=0 sowie a=0, b=1 werden deshalb in der Verknüpfung mit 1 bewertet.
14.10.2017, 14:44	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine semantische Implikation macht eben als Implikation keinen Sinn wenn die Voraussetzung falsch wäre, das drückt sich darin aus: Aus etwas Falschem kann man Falsches aber auch Wahres folgern. Wenn A eine Teilmenge von B ist ( Relation !) dann gilt für jedes Element aus A auch, dass es Element von B ist. $\begin{eqnarray} \bigwedge_{x \in A} x \in B \end{eqnarray}$ aus der falschen Voraussetzung kann ich nur folgern $\begin{eqnarray} \bigwedge_{x \notin A} x \in B \lor x\notin B \end{eqnarray}$ was genau Obiges besagt.

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