Linearkombination Varianz

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Demid89 Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombination Varianz
Meine Frage:
Hallo zusammen ich habe das Problem, dass ich nicht verstehe, wieso bei der a und b die Varianz sich aus 12 mal der Varianz der Flasche zusammensetzt (also aus der Summe der anabhägig verteilten Flaschen) und bei der e aus 12^2 mal der Varianz der Flasche. Vielen Dank im Voraus

Ein Getränkehersteller produziert täglich 6.000 Kisten Mineralwasser mit jeweils 12 Flaschen und setzt diese auch ab. Auf den Etiketten der Flaschen ist jeweils eine Füllmenge von 0,75 Litern angegeben. Tatsächlich hat jede Flasche eine mittlere Füllmenge von 0,75 Litern mit einer Standardabweichung i. H. v. 2 Prozent. Die abgefüllte Menge soll approximativ normalverteilt sein.

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde beim Kauf eines Kastens Mineralwasser weniger als exakt 9 Liter Mineralwasser erhält?

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde beim Kauf eines Kastens Mineralwasser mindestens 9,05 Liter Mineralwasser erhält?

e) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde beim Kauf eines Kastens Mineralwasser mindestens 9,05 Liter Mineralwasser erhält? Gehen Sie zur Beantwortung der Frage abweichend von Aufgabenteil b) davon aus, dass die Abfüllmengen der 12 Flaschen eines Kastens aufgrund der Einstellungen der Abfüllanlage übereinstimmen. Die Standardabweichung der Füllmenge einer Flasche betrage wieder 2 Prozent.


Meine Ideen:
Bei a und b geht man lediglich von einer mittleren Füllmenge aus und bei e geht man davon aus, dass die Abfüllmengen der Flaschen übereinstimmen (also keine mittlere Abfüllmenge?).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein gilt für Zufallsgrößen mit existierenden zweiten Momenten die Gleichung

.


In a)b) sind die unabhängig, so sind sie insbesondere auch unkorreliert, damit sind alle Kovarianzterme gleich Null, es folgt

,

sind sie auch noch identisch verteilt, so kann man kurz sagen .


In e) sind die Zufallsgrößen nicht unabhängig, denn sie sind nicht nur gleich verteilt, sondern tatsächlich gleich, d.h., für alle . Hier bedeutet (*) dann

.

Das gleiche kann man hier in diesem Fall e) auch einfacher haben via

,

diese Rechenregel für das Herausziehen eines konstanten reellen Faktors aus einer Varianz leitet sich leicht aus der Varianzdefinition in Kombination mit der Linearität des Erwartungswerts ab.
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