3 Vektoren in R^2. Erzeugendensystem zeigen.

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dehunwissndeh Auf diesen Beitrag antworten »
3 Vektoren in R^2. Erzeugendensystem zeigen.
Meine Frage:
Aufgabe im Anhang.
Ich hab mich ein wenig im Internet umgeschaut, allerdings noch nicht so wirklich eine Hilfe zur Lösung gefunden für mich.
Es soll wohl noch sowas geben wie Basis, dass hatten wir bloss noch nicht.

Wie zeigt man das Erzeugungssystem dazu?

Meine Ideen:
Ich habe sowas gelesen wie "Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, dann ist es ein Erzeugungssystem". Nun diese 3 Vektoren sind Linear Abhängig.

Mein Ansatz wäre sowas in die Richtung:
v1+v3 = v2
Ausgeschrieben:
a + b = -1
a - b = -1 -> a = -1 + b
in erste Formel: -1 + 2b = -1 -> b = 0
in zweite Formel: a + 0 = -1 -> a = -1

Wäre damit gezeigt das es ein Erzeugendensystem ist?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

In R2 sind 3 Vektoren immer linear abhängig, für eine Basis in R2 genügen bereits zwei linear unabhängige Vektoren.
Ein Erzeugendensystem in R2 kann allerdings auch aus mehr als zwei 2-dimensionalen Vektoren bestehen.
Die Bedingung dafür ist, dass sich jeder Vektor dieses VR als Linearkombination der erzeugenden Vektoren darstellen lässt.
Dies ist hier der Fall, weil zumindest zwei Vektoren linear unabhängig sind (hier die Vektoren v1 und v3 oder v2 und v3). Der übrig bleibende spielt dann insofern mit, dass er nur den Ergebnisvektor verändert.

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vektoren und sind linear abhängig. Damit kann man also den nicht erzeugen. Aber mit und geht es. Den Vektor



etwa kann man folgendermaßen darstellen:



Jetzt versuche, diesen Vorgang allgemein zu beschreiben. Wie findet man die Koeffizienten der Linearkombination?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Eventuell ist der Beweis schon geführt, indem man zeigt, dass es 2 der gegebenen 3 Vektoren gibt, die linear unabhängig sind verwirrt

mY+
dehunwissndeh Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
Hab ich das mit meinem Ansatz nicht gemacht?

"Mein Ansatz wäre sowas in die Richtung:
v1+v3 = v2
Ausgeschrieben:
a + b = -1
a - b = -1 -> a = -1 + b
in erste Formel: -1 + 2b = -1 -> b = 0
in zweite Formel: a + 0 = -1 -> a = -1"

Man nimmt nen beliebigen Vektor und zeigt das man durch die koeffizienten a und b einen vektor w erstellen kann (in meinem Fall w = v2)
Hab ich damit gezeigt das es ein Erzeugendensystem gibt?

Oder missverstehe ich da etwas?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dehunwissndeh
[...]
Man nimmt nen beliebigen Vektor und zeigt das man durch die koeffizienten a und b einen vektor w erstellen kann (in meinem Fall w = v2)
Hab ich damit gezeigt das es ein Erzeugendensystem gibt?

Oder missverstehe ich da etwas?


ja, du sollst nachweisen, dass ein Erzeugendensystem ist .

Dein "beliebiger" Vektor muss schon "beliebig" sein also
Also muss



immer lösbar sein=nicht unlösbar.

Welche Zeilenoperation im LGS zeigt dies sofort ?
 
 
dehunwissndeh Auf diesen Beitrag antworten »

Edit (mY+): Vollzitat entfernt.

Oh man, tut mir leid, ich komme einem bestimmt komplett bescheuert vor.

Laut dem hab ich die Gleichungen

r - s + t = w1
r - s - t = w2

Dann schreib ich (r-s) = x und somit:
x + t = w1
x - t = w2

Mit dem koennte ich ein wenig rumalbern und nach x und/oder t umstellen, aber ich sehe irgendwie kein Ziel darin.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Lass mal die Vollzitate bleiben, es gibt auch den ANTWORT button.


Zitat:


r - s + t = w1
r - s - t = w2

Dann schreib ich (r-s) = x und somit:
x + t = w1
x - t = w2


nicht neue Variable einführen und schon gar nicht x



und damit gibt es für t immer eine Lösung und damit auch für r,s wobei die Lösung mehrdeutig ist.

Der Rang der KoeffizientenMatrix ist gleich dem der erweiterten Matrix aber um 1 kleiner als 3=Anzahl der Variablen ---> eine Variable ist frei wählbar.
dehunwissndeh Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich auch tun koennte, waere zu sagen:
v_1 und v_2 sind voneinander linear abhaengig
v_1 und v_3 sind voneinander linear unabhaengig
v2 und v3 sind voneinander linear unabhaengig.

r - s + t = w_1
r - s - t = w_2

da v_1 und v_2 voneinander linear abhaengig sind, mach ich v_1 (oder v_2) = 0.

r + t = w_1 -> r = w_1 - t
r - t = w_2 -> t = (w_1-w_2)/2 -> r = (w_1-w_2)/2

Somit steht am Ende



Edit (mY+): LaTeX berichtigt, du musst noch die Tags

code:
1:
[latex]...[/latex]
setzen! Ausdruck markieren und auf f(x) klicken!

Damit waere das Erzeugungssystem gezeigt.


Stimmt das so?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

was soll das ?
Solange mit Zahlen herumspielen bis der Beweis erbracht ist dass die Erde eine Scheibe ist unglücklich

Letztlich steht bei dir




das ist eine unzulässige Einschränkung.

Aber sind 2 der 3 Vektoren l.u. dann ist das eine Basis und zugleich ein Erzeugendensystem. Es steht einem frei noch irgendwelche weiteren Vektoren hinzuzunehmen.

Basis Erzeugendensystem . Aber nicht anderstherum.
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