(z-i)^3=8

29.07.2017, 02:43

Öz

(z-i)^3=8

Meine Frage:
Hi Leute!

Ich verstehe nicht ganz wie die folgende Aufgabe zu lösen ist:
(z-i)^3=8

Meine Ideen:

Mir ist natürlich das Wurzel Gesetz bekannt und ich weiss auch, wie man alle Lösungen zu z^3=8 berechnet. Ich weiss nicht welchen Winkel und Raius ich bei der Formel einsetzen muss, wenn die Aufgabe (z-i)^3=8 lautet.

29.07.2017, 04:55

user185

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Ich habe so eine Idee, kann aber nicht garantieren, dass das stimmt.

3te Wurzel von (z-i)^3=8 -> (z-i)= 2 (wegen 2*2*2=8)

z= 2-i

Wie gesagt nur ein Versuch

29.07.2017, 09:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Öz
Mir ist natürlich das Wurzel Gesetz bekannt und ich weiss auch, wie man alle Lösungen zu z^3=8 berechnet.

Dann bist du doch praktisch fertig, das hier ist doch nur eine feste Verschiebung um $\begin{align*} i \end{align*}$ . Oder ausführlich:

Man substituiert $\begin{align*} w=z-i \end{align*}$ , dann lautet die Gleichung $\begin{align*} w^3=i \end{align*}$ . Die kannst du lösen, und anschließend kannst du jede der Lösungen $\begin{align*} w \end{align*}$ zu Lösung $\begin{align*} z=w+i \end{align*}$ rücksubstituieren. Z.B. Lösung $\begin{align*} w=-1+i\sqrt{3} \end{align*}$ der substituierten Gleichung führt zu Lösung $\begin{align*} z=-1+(\sqrt{3}+1)i \end{align*}$ deiner Originalgleichung $\begin{align*} (z-i)^3=8 \end{align*}$ .

29.07.2017, 11:11

Helferlein

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@user185: Das i steht hier für die imaginäre Einheit und ist keine Variable.
Leider hat Öz die Frage im Schulbereich gestellt, so dass das nicht direkt zu erkennen war.
Auch wenn HAL schon das wesentliche gesagt hat, verschiebe ich die Aufgabe in den Hochschulbereich.

08.08.2017, 22:37

user185

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Ich verstehe einiges an deiner Antwort leider nicht(Verständnisproblem)
Wie kommst du auf w^3=i und wieso steht eine -1 vor " iWurzel(3)2
Und ich wollte noch wissen, wieso man Wurzel von 3 angeben muss und nicht 3te Wurzel.

Wäre nett , wenn du mit weiterhelfen würdest smile

08.08.2017, 22:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von user185
Wie kommst du auf w^3=i

Entschuldige, das war ein Schreibfehler: Es sollte $\begin{align*} w^3=8 \end{align*}$ lauten.

Damit haben sich dann (hoffentlich) auch die anderen Fragen erledigt.

08.08.2017, 23:55

user185

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ich wollte nur noch wissen wieso -1 vor der i Wurzel von 3 steht und, ob die wurzel von 3 mit dem Exponenten was zu tun hat (Polarform etc.)

09.08.2017, 06:37

HAL 9000

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Du hast doch oben behauptet

Zitat:

Original von Öz
und ich weiss auch, wie man alle Lösungen zu z^3=8 berechnet.

da verstehe ich jetzt nicht, wieso du jetzt diese Fragen stellst: Es ist

$\begin{align*} \sqrt[3]{8} \left( \cos\left( \frac{2\pi}{3} \right) + i\sin\left( \frac{2\pi}{3} \right) \right) = 2\left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 + i\sqrt{3} \end{align*}$

ganz normal eine der drei komplexen dritten Wurzeln von 8 !!!

09.08.2017, 11:44

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du hast doch oben behauptet

Zitat:

Original von Öz
und ich weiss auch, wie man alle Lösungen zu z^3=8 berechnet.

Ähm, das hat Öz behauptet, nicht user185. smile

An user185: Schau doch mal in unseren Workshop... [WS] Komplexe Zahlen

Viele Grüße
Steffen

09.08.2017, 11:55

HAL 9000

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