Basis vom Unterraum bei R^3

29.07.2017, 16:45

reugien

Basis vom Unterraum bei R^3

Meine Frage:
Die Menge U := span { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ } ist ein Unterraum des R^3.

Ich soll jetzt die Basis von U angeben.
Einfach wäre es die Kanonische Basis zu nehmen.

Ich interessiere mich eher dafür, wie man überhaupt auf eine Basis kommt/ausrechnet und eventuell eine andere als die Kanonische Basis bekommt. Wäre jemand so lieb und könnte mir erklären wie so etwas zu machen ist?

Und was genau bedeutet dieses "span" vor der Mengenklammer?

Meine Ideen:
Da ich weiß wie die Kanonische aussieht, schätze ich das es allgemein fuer eine Basis auch so aussieht. Ein Anfang wäre also irgendwie so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = a * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \\ z1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + b * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \\ z2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + c * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x3 \\ y3 \\ z3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = r * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \\ z1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + s * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \\ z2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x3 \\ y3 \\ z3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = u * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \\ z1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + v * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \\ z2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + w * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x3 \\ y3 \\ z3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist der Gedanke richtig oder bin ich bereits gescheitert?

29.07.2017, 17:25

Mulder

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RE: Basis vom Unterraum bei R^3

Zitat:

Einfach wäre es die Kanonische Basis zu nehmen.

Ja, das wäre einfach. Und es wäre auch falsch. Augenzwinkern

Gefragt ist ja nicht nach einer Basis des R³, sondern nach einer Basis von U. Wer sagt, dass das das selbe ist?

Mit "span" ist die lineare Hülle gemeint. Siehe Wikipedia . Wenn an der Definition etwas unklar ist, präzisiere, wo genau es hakt, dann läst sich sich das sicher klären. Aber Definitionen bitte immer selbständig nachschlagen. Augenzwinkern

Die drei Vektoren, die du da gegeben hast, sind auf lineare (Un-)Abhängigkeit zu untersuchen. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Die drei Vektoren, die du da gegeben hast, sind auf jeden Fall ein Erzeugendensystem von U. Wenn sie jedoch linear abhängig sind, bilden sie keine Basis von U. Überprüfe das und schmeiß ggf. überflüssige Vektoren raus. Dann erhältst du eine Basis.

PS: Es gibt im Allgemeinen nicht "die" Basis, sondern beliebig viele. Das nur so am Rande wegen der Formulierung.

29.07.2017, 19:13

reugien

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RE: Basis vom Unterraum bei R^3
Untersuchung durchgeführt. Sie sind linear unabhängig.
Was kann ich mit der Info jetzt tun um die Basis rauszufinden? Ist mir irgendwie unklar das ganze.

29.07.2017, 19:23

Elvis

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Da die drei Vektoren linear unabhängig sind, sind sie eine Basis von U. Du wolltest eine Basis suchen, du hast eine Basis gefunden.

Geht deine Frage möglicherweise dahin, warum du diese Aufgabe lösen solltest ? Du solltest lernen, wie man eine Basis findet. Lernziel erreicht.

Wunderst du dich, warum man eine Basis eines Vektorraums sucht ? Eine Basis ist wesentlich einfacher als der ganze Vektorraum, wenn man Vektorräume verstehen will, kann man sich also erst einmal eine Basis ansehen, dann lernt man schon etwas über den Vektorraum.

Weißt du nicht, warum du dich für Vektorräume interessieren solltest ? Das macht nicht, wenn du das jetzt noch nicht weißt. In 2 Jahre wirst du vielleicht wissen, warum Vektorräume interessant sind. In 5 Jahren wirst du vielleicht wissen, wie wichtig Vektorräume in der Mathematik sind. In 20 Jahren wirst du vielleicht wissen, wo in der Mathematik Vektorräume wichtig sind. In 40 Jahren wirst du wissen, wie wichtig Mathematik ist.

29.07.2017, 19:39

reugien

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Okay dankesehr. Das das so simpel ist hätte ich nicht erwartet.

Die nächste Aufgabe wäre: Vervollständige die Basis von U zu einer Basis des R^3.

Ist das auch so simpel? Ich würd jetzt einfach schreiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 8 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Falls das Richtig ist, hat es jetzt die Dimension 1? Vorher hatte ich ja eine Dimension von 3.

29.07.2017, 19:45

Elvis

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Das ist überhaupt nicht simpel, das erkennt man daran, dass du noch nicht verstanden hast, was eine Basis ist.

$\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$ ist eine Basis von U.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 8 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist eine Matrix, aber keine Basis von U.

Jeder Vektorraum hat eine Basis. Jeder Vektorraum hat eine Dimension. Eine Basis hat keine Dimension. Eine Matrix hat keine Dimension.

29.07.2017, 19:47

Mulder

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Tja nun, auch mit solchen Aufgaben, die ein bisschen als Verarsche erscheinen mögen, wird das Verständnis geprüft. Wer den Sachverhalt verstanden hat, hat ein einfaches Leben mit solchen Aufgaben und hat sie in wenigen Sekunden abgefrühstückt.

So jetzt auch bei dieser Aufgabe.

Du hast herausgefunden, dass die drei gegebenen Vektoren, die U aufspannen, linear unabhängig sind. U hat also Dimension 3.

Welche Dimension hat denn nun der R³, aufgefasst als R-Vektorraum?

Musst du überhaupt irgendwas vervollständigen? Oder ist die Basis von U vielleicht auch schon eine Basis des R³?

Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?

Was soll die Matrix nun bedeuten, die du da hingeschrieben hast?

29.07.2017, 20:02

reugien

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hmm. Ich meine ich muss da nichts mehr vervollständigen.
Ich habe meine Basis und jedes ist Element von R^3. Es ist bereits vollständig, da ist nichts was man hinzufügen müsste um daraus eine Basis zu machen.

30.07.2017, 11:17

Elvis

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Eine Meinung reicht in der Mathematik nicht aus, man muss jede Aussage beweisen. Du hast eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , du behauptest, dass diese eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist. Beweise diese Behauptung.

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