Konvergenz der Reihe sin(x)/x

30.07.2017, 13:29

MaDnezz

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Konvergenz der Reihe sin(x)/x

Hallo zusammen,
ich habe eine Aufgabe die wie folgt lautet:

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{x=1}^\infty \frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$
Hinweis: Benutzen Sie partielle Integration.

Nun zu meiner Frage. Der Hinweis mit der partiellen Integration deutet für mich daraufhin, dass hier in irgendeiner Form das Integralkriterium verwendet werden soll. Dieses gilt allerdings ja nur für streng monoton fallende Nullfolgen, die nur positive Glieder haben. Dementsprechend müsste ich also irgendeine Abschätzung vornehmen. Allerdings hilft mir ja eine Abschätzung gegen den Betrag von sin(x) oder $\begin{eqnarray*} sin^2(x) \end{eqnarray*}$ nicht weiter, da diese ja immer noch keine streng monoton fallenden Nullfolgen sind. Die Abschätzung gegen 1/x ist zu stark, da diese Reihe divergiert.
Kann mir jemand einen Tipp bezüglich der Abschätzung geben, oder bin ich generell auf dem falschen Weg?

30.07.2017, 14:09

Clearly_wrong

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Ich sehe hier auch nicht, wie man partielle Integration benutzen soll, um die Konvergenz zu zeigen.

Viel passender scheint mir hier das Kriterium von Dirichlet.

Edit: Ist vielleicht partielle Summation gemeint? So beweist man nämlich das Kriterium von Dirichlet.

30.07.2017, 14:25

Mathema

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edit: Hier steht Blödsinn (bitte nicht beachten)

@Clearly_wrong:

Ich denke es ist so gemeint:

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{x=1}^\infty \frac{sin(x)}{x}\leq \int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\dd x=\int_0^{1}\frac{\sin(x)}{x}\dd x+ \int_1^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\dd x \end{eqnarray*}$

Für das 2. Integral dann partielle Integration.

Wink

Wink

30.07.2017, 15:54

Clearly_wrong

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Hallo Mathema,

wie begründest du denn die erste Ungleichung?

30.07.2017, 16:06

MaDnezz

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Schonmal vielen Dank für die Antworten. Also es ist auf jeden Fall partielle Integration gemeint, das ist eine alte Klausur unseres Professors, da steht klar partielle Integration. Wenn man die Abschätzung von Mathema so machen kann, wäre das ja schonmal was, allerdings ist mir noch nicht ganz klar, warum man die Abschätzung so tätigen kann

30.07.2017, 16:21

Mathema

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Zitat:

wie begründest du denn die erste Ungleichung?

Nicht nachgedacht - sorry. Da habe ich Blödsinn geschrieben.

edit: Dann noch ein (nicht ganz ernst gemeinter) Versuch meinen Ansatz zu retten (ich lerne ja gerade fleißig komplexe Analysis):

Es ist Bekannterweise $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1 \end{eqnarray*}$

Nutzen wir mal (3) von hier:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x=0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}-\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\dd x=\frac{1}{2}\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}+i\int_0^{\infty}\frac{\overbrace{\frac{\sin(it)}{it}+\frac{\sin(-it)}{it}}^{=0}}{e^{2\pi t}-1}\dd t \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x=0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}-\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\dd x=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Addieren wir noch $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten:

$\begin{eqnarray*} -1+\sum\limits_{x=0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}-\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\dd x=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x=1}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}-\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\dd x=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die Summe ist also eindeutig kleiner als das Integral. Teufel

Teufel

edit:Summationsindex geändert (Danke@ Clearly_wrong)

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30.07.2017, 17:56

Clearly_wrong

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Durchaus

Big Laugh

Freude

(In der Summe steht x statt k)

Allerdings sind die Voraussetzungen, die hier stehen, nicht erfüllt.

Vielleicht sind ja die "viel schwächeren Bedingungen" erfüllt, die auch erwähnt, aber leider nicht ausgeführt sind Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.07.2017, 17:59

Leopold

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Vielleicht ist nicht die partielle Integration, sondern die partielle Summation, auch: Abelsche Summation, gemeint, das Analogon der partiellen Integration für Reihen. Aus der geometrischen Reihe erhält man durch Integration

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k} = - \log(1-z) \end{align*}$

In der Formel ist auf der rechten Seite der Hauptzweig des komplexen Logarithmus gemeint. Die Formel gilt auf jeden Fall für $\begin{align*} |z|<1 \end{align*}$ . Und mit Hilfe der Abelschen Summation kann man im Verein mit dem Abelschen Grenzwertsatz zeigen, daß sie auch noch für $\begin{align*} |z| = 1, z \neq 1 \end{align*}$ gilt. Das erlaubt mittels der Parametrisierung $\begin{align*} z = \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \end{align*}$ durch Übergang zum Imaginärteil die Herleitung des Reihenwertes der Sinusreihe der Aufgabe. Hat nämlich $\begin{align*} z \end{align*}$ das Argument $\begin{align*} t \end{align*}$ mit $\begin{align*} 0 < t < 2 \pi \end{align*}$ , so hat $\begin{align*} 1-z \end{align*}$ das Argument $\begin{align*} \frac{1}{2} \left( t - \pi \right) \in \left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right) \end{align*}$ , wie man es für den Hauptzweig des Logarithmus braucht.

[attach]44999[/attach]

Es folgt somit

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(kt)}{k} = \operatorname{Im} \left( - \log \left( 1 - \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \right) \right) = - \frac{1}{2} \left( t - \pi \right) = \frac{1}{2} \left( \pi - t \right) \, , \ 0 < t < 2 \pi \end{align*}$

Speziell $\begin{align*} t=1 \end{align*}$ liefert

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(k)}{k} = \frac{1}{2} \left( \pi - 1 \right) \end{align*}$

Alternativ kann man über Fourier-Reihen gehen.

30.07.2017, 19:16

Mathema

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Zitat:

Vielleicht sind ja die "viel schwächeren Bedingungen" erfüllt, die auch erwähnt, aber leider nicht ausgeführt sind Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hallo Clearly_wrong,

ich habe (falls es dich interessiert) noch folgendes aus dem bei Wiki erwähnten Buch gefunden:

[attach]45004[/attach]

[attach]45005[/attach]

Ändert natürlich nichts an der Tatsache, dass ich natürlich eigentlich das Integralkriterium im Kopf hatte - und die Voraussetzungen dafür ja nicht erfüllt sind. Das kommt wohl dabei raus, wenn man mit dem Kopf schon halb am Strand liegt. Mea Culpa.

Dir noch einen schönen Sonntag-Abend!

31.07.2017, 09:22

MaDnezz

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Nochmals danke an alle, die sich mit der Aufgabe auseinandergesetzt haben.
@Leopold: Wie oben erwähnt, handelt es sich bei der Aufgabe um eine alte Klausuraufgabe unserers Professors, auf dem Klausurbogen steht zumindest eindeutig partielle Integration und nicht Summation. Vielleicht hat er das ja während der Klausur noch mündlich geändert, das weiß ich aber nicht. Ich kann deinen Lösungsweg zwar halbwegs mit meinem Wissen aus Funktionentheorie nachvollziehen, aber da es hier um eine Aufgabe in Analysis 2 geht, bezweifle ich, dass dies der (in der Klausur) gesuchte Weg zur Lösung ist. Denoch danke für deine Mühe smile

smile

31.07.2017, 10:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von MaDnezz
aber da es hier um eine Aufgabe in Analysis 2 geht, bezweifle ich, dass dies der (in der Klausur) gesuchte Weg zur Lösung ist.

Nörgel, nörgel, nörgel... falls du es nicht gemerkt haben solltest: Leopold hat etwas mehr gemacht als nur Konvergenz nachzuweisen, er hat den Reihenwert direkt ausgerechnet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.07.2017, 10:10

Leopold

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Mit $\begin{align*} A_n = \sum_{k=1}^n \sin(k) \end{align*}$ und partieller Summation erhält man

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n \frac{\sin(k)}{k} = A_n \cdot \frac{1}{n} + \sum_{k=1}^{n-1} A_k \cdot \frac{1}{k(k+1)} \end{align*}$

Kann man nun zeigen, daß $\begin{align*} A_n \end{align*}$ beschränkt ist, so strebt der Summand vor dem Pluszeichen gegen 0 für $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ , und der Summand hinter dem Pluszeichen besitzt in $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} \end{align*}$ eine konvergente Majorante. Das würde die Konvergenz klären.

Für $\begin{align*} A_n \end{align*}$ kann man eine explizite Formel angeben:

$\begin{align*} A_n = \frac{\sin(1) + \sin(n) - \sin(n+1)}{2 \left( 1 - \cos(1) \right)} \end{align*}$

Und hieran kann man die Beschränktheit von $\begin{align*} A_n \end{align*}$ ablesen. Aber vielleicht geht das ja auch ohne diese Formel in einfacherer Weise.

31.07.2017, 10:15

HAL 9000

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Wobei das genau die Argumentation im üblichen Beweis des Dirichlet-Kriterium (oben schon mal von Clearly_wrong erwähnt) ist.

31.07.2017, 10:26

MaDnezz

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von MaDnezz
aber da es hier um eine Aufgabe in Analysis 2 geht, bezweifle ich, dass dies der (in der Klausur) gesuchte Weg zur Lösung ist.

Nörgel, nörgel, nörgel... falls du es nicht gemerkt haben solltest: Leopold hat etwas mehr gemacht als nur Konvergenz nachzuweisen, er hat den Reihenwert direkt ausgerechnet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich wollte nicht nörgeln, ich habe nur darauf hingewiesen, dass das vermutlich nicht der gesuchte Lösungsweg in der Klausur ist, habe mich aber bei ihm für die Erklärung und die Mühe bedankt. Weiß jetzt nicht, was daran falsch war..

@Leopold Danke, das ist ja, wie HAl erwähnte, der Weg über das Dirichlet-Kriterium, was ja auf jeden Fall einem Lösungsweg im Rahmen von Analysis 2 entsprechen würden. Vielleicht war die Angabe mit der partiellen Integration ja wirklich einfach fehlerhaft. Falls eine ähnliche Aufgabe in meiner Klausur dran kommt, werde ich einfach diesen Weg wählen smile

smile

31.07.2017, 10:34

Leopold

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Die Schwierigkeit ist nur, daß man irgendwie die Beschränktheit von $\begin{align*} A_n \end{align*}$ braucht. Die explizite Formel wird ein "normaler" Student nicht parat haben. Und ob er in Analysis 2 genügend Kenntnisse hat, sie eben mal schnell herzuleiten, ist zu bezweifeln. (Ich habe sie übrigens über die geometrische Summe mit dem Quotienten $\begin{align*} \gamma = \operatorname{e}^{\operatorname{i}} \end{align*}$ und Übergang zum Imaginärteil hergeleitet. Aber das braucht Zeit.) Gibt es also einen einfacheren Weg, die Beschränktheit zu sehen? verwirrt

verwirrt

31.07.2017, 11:56

Clearly_wrong

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@Leopold: Einfacher, als die geometrische Summe zu verwenden sehe ich auch nicht, ich finde aber nicht, dass man das dann noch explizit ausrechnen muss. An $\begin{align*} \operatorname{Im}\left(\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\right) \end{align*}$ , sieht man doch die Beschränktheit sofort und dort hinzukommen halte ich jetzt für eine Analysis 2 Klausur auch nicht für zu schwierig, wenn man das Dirichletkriterium kennt, sich also mit der partiellen Summation nicht herumschlagen muss.

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