Borel-Cantelli

30.07.2017, 14:21

Hilfesuchender1

Borel-Cantelli

Meine Frage:
Hallo, ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Sei (X_n) eine Folge von unabhängigen auf [0,1] gleichverteilen Zufallsvariablen. Zeige: lim inf log(X_n)/log(n)=-1 f.s.

Meine Ideen:
Meine Idee war das ganze erstmal umzuschreiben auf:
log(X_n)=log(1/n)
Weiter weis ich ja das P(X_n<1/n)=1/n
Ich habe versucht das ganze mit Borel-Cantelli für lim inf zu lösen, also
Summe P(A_n Komplement)= unendlich => P(lim inf A_n)=1
Wobei mein A_n:={log(X_n)=log(1/n)} und sein Komplement somit undlgeich log(1/n)
Jedoch komme ich hierbei immer genau auf das Gegenteil von dem was ich zeigen möchte.

Ist mein Ansatz richtig? Bzw was machte ich falsch, alternativ Ideen?

30.07.2017, 16:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hilfesuchender1
Meine Idee war das ganze erstmal umzuschreiben auf:
log(X_n)=log(1/n)

So kann man den zu betrachtenden Limes Inferior nicht simplifizieren. unglücklich

$\begin{align*} \liminf_{n\to\infty} \frac{\log\left(X_n\right)}{\log(n)} = -1 \end{align*}$ bedeutet übersetzt, dass für alle $\begin{align*} \varepsilon > 0 \end{align*}$ folgendes erfüllt sein muss:

a) Für unendlich viele $\begin{align*} n \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \frac{\log\left(X_n\right)}{\log(n)} \leq -1+\varepsilon \end{align*}$ .

b) Für fast alle $\begin{align*} n \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \frac{\log\left(X_n\right)}{\log(n)} \geq -1-\varepsilon \end{align*}$ , oder anders formuliert: Für nur endlich viele $\begin{align*} n \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \frac{\log\left(X_n\right)}{\log(n)} < -1-\varepsilon \end{align*}$ .

Zu betrachten sind also für festes $\begin{align*} \varepsilon > 0 \end{align*}$ die Ereignisse

$\begin{align*} A_n = \left[ \frac{\log\left(X_n\right)}{\log(n)} \leq -1+\varepsilon \right] = \left[ X_n \leq \frac{1}{n^{1-\varepsilon}} \right] \end{align*}$

$\begin{align*} B_n = \left[ \frac{\log\left(X_n\right)}{\log(n)} < -1-\varepsilon \right] = \left[ X_n \leq \frac{1}{n^{1+\varepsilon}} \right] \end{align*}$ ,

und auf die kannst du nun Borel-Cantelli anwenden.

Neue Frage »

Antworten »

Borel-Cantelli

Verwandte Themen