Problem beim Integrieren

31.07.2017, 08:48

Joinologie

Problem beim Integrieren

Meine Frage:
Wenn man die Funktion 1/(x^2) intergrieren will, kommt man auf die Lösung -1/x. Jetzt hab ich allerding den Term umgeformt auf (1/x)^2. Wenn man den nun integriert komme ich am Ende auf -1/3 * 1/x. An was liegt das? Oder hab ich mich nur irgendwo dämlich verrechnet?

Meine Ideen:
Mein Lösungsweg für (1/x)^2: Erst den Exponenten erhöhen, dann durch den Exponenten teilen: 1/3*(1/x)^3; dann durch die innere Ableitung(-1/x^2): -1/3*x^2*(1/x)^3; dann kürzen: -1/3*1/x.

31.07.2017, 08:57

klarsoweit

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RE: Problem beim integrieren
Ich weiß ja nicht, was du dir da für eine "Regel" ausgedacht hast, aber so funktioniert das Integrieren nicht.

31.07.2017, 09:01

G310717

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RE: Problem beim integrieren
Was genau hast du gerechnet, um auf das falsche Ergebnis zu kommen?
Es geht doch nach dem Schema:

f(x) = x^n ---> F(x) = x^(n+1)/(n+1)

1/x^2 = x^(-2)

Wende das Schema darauf an und du kommst zum richtigen Ergebnis.

31.07.2017, 09:08

klarsoweit

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RE: Problem beim integrieren

Zitat:

Original von G310717
Was genau hast du gerechnet, um auf das falsche Ergebnis zu kommen?

Nun ja, ein wenig steckt da die (falsch angewendete) Substitutionsregel dahinter. Irgendjemand hat wohl gesagt, daß die Regel auch für Polynome der Form (ax + b)^n funktioniert. Man muß dann nur noch durch die Ableitung der Basis dividieren. Das gilt aber nur für diesen Fall, aber eben nicht allgemein für jede beliebige Basis. smile

31.07.2017, 09:13

Leopold

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Dein alternatives Vorgehen funktioniert nur, wenn die innere Funktion linear ist. Ich versuche, es einmal abstrakt zu erklären.

Du hast eine verkettete Funktion $\begin{align*} h(x) = g \left( f(x) \right) \end{align*}$ und kennst eine Stammfunktion $\begin{align*} G \end{align*}$ von $\begin{align*} g \end{align*}$ . Jetzt bildest du die Funktion

$\begin{align*} \Phi(x) = \frac{G \left( f(x) \right)}{f'(x)} \end{align*}$

und glaubst, das sei eine Stammfunktion von $\begin{align*} h \end{align*}$ . Genau so war dein Vorgehen. Wenn du nun aber $\begin{align*} \Phi \end{align*}$ zur Probe differenzierst, stellst du fest, daß du außer der Kettenregel noch die Quotientenregel brauchst:

$\begin{align*} \Phi'(x) = \frac{g \left( f(x) \right) \cdot \left( f'(x) \right)^2 \color{red} - G \left( f(x) \right) \cdot f''(x)}{\left( f'(x) \right)^2} = \frac{h(x) \cdot \left( f'(x) \right)^2 \color{red} - G \left( f(x) \right) \cdot f''(x)}{\left( f'(x) \right)^2} \end{align*}$

Und das ist mitnichten gleich $\begin{align*} h(x) \end{align*}$ . Ist allerdings die innere Funktion linear, etwa $\begin{align*} f(x) = ax+b \end{align*}$ , dann ist $\begin{align*} f'(x) = a \end{align*}$ und $\begin{align*} f''(x) = 0 \end{align*}$ . Dann vereinfacht sich die Formel zu

$\begin{align*} \Phi'(x) = \frac{h(x) \cdot a^2 - G \left( f(x) \right) \cdot 0}{a^2} = h(x) \end{align*}$

31.07.2017, 09:24

Joinologie

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Vielen Dank Leopold,
ich hab vergessen, dass dieses Vorgehen nur für eine lineare Basis funktioniert. Danke, dass du das so schön anschaulich erklärt hast.
Viele Grüße,
Joinilogie

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