Bedingte Varianz

31.07.2017, 09:29	Varianz 2.0	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Varianz Meine Frage: Es seien X,Y zwei unab. standardnormalverteilte ZV auf W'ram (\Omega,A,P). Berechne VAR[X\|X+Y] Es darf beweißlos angenommen werden E[X\|X+Y]=(X+Y)/2 Meine Ideen: VAR[X\|X+Y]=E[(X-E[X\|X+Y])²\|X+Y]=E[(X-(X+Y)/2)²\|X+Y]=E[(X+Y)²+X²+X(X+Y)\|X+Y]=1/4(X+Y)²+E[X²\|X+Y]+(X+Y)E[X\|X+Y]=.... Hier komme ich nicht mehr weiter. Darf ich da X unab. zu Y einfach das Y in der Bedingung weglassen? dann würden bei den beiden Erwartungswerten nur noch X² und X überbleiben.. oder wie muss man hier weiter vorgehen? Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
31.07.2017, 10:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{align} Z \end{align}$ ein standardnormalverteilter Vektor, so ist $\begin{align} W=AZ \end{align}$ ein normalverteilter Vektor mit Mittelwert 0 und Kovarianzmatrix $\begin{align} AA^T \end{align}$ . Betrachten wir im vorliegenden Fall $\begin{align} W = \begin{pmatrix} X+Y\\ X-Y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix} \end{align}$ mit $\begin{align} A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \end{align}$ und damit dann $\begin{align} AA^T = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} = 2E \end{align}$ . Damit sind die Komponenten von $\begin{align} W \end{align}$ unkorreliert, was bei einem normalverteilten Vektor gleichbedeutend mit Unabhängigkeit ist. Folglich ist $\begin{align} \operatorname{Var}[X \mid X+Y] = E\left[\left(X-\frac{X+Y}{2}\right)^2 \mid X+Y \right] = \frac{1}{4} E\left[ (X-Y)^2 \mid X+Y \right]= \frac{1}{4} E\left[ (X-Y)^2 \right] = \frac{1}{2} \end{align}$ P.S.: Da sind einige Rechenfehler in deiner Zeile, falsche Vorzeichen sowie ein fehlendes 1/4.

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