Momenterzeugende Funktion für cos(x)

01.08.2017, 15:42

Romaxx

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Momenterzeugende Funktion für cos(x)

Hallo zusammen,

ich suche für die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} \tilde X=cos(X) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} X\sim\mathcal{N}(\boldsymbol\mu,\boldsymbol\lambda) \end{eqnarray*}$ die Momenterzeugende Funktion

$\begin{eqnarray*} E[e^{t\tilde X}] = \frac{1}{\sqrt{2\pi\boldsymbol\lambda}}\int e^{-\frac{(x-\boldsymbol\mu)^2}{2\boldsymbol\lambda}}e^{t\cos(x)}dx \end{eqnarray*}$

Exisiert diese bzw. wie kann ich den Ausdruck weiter analytisch behandeln.

Danke und Grüße

01.08.2017, 16:09

HAL 9000

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Du könntest noch versuchen, die Reihenentwicklung

$\begin{align*} e^{t\cos(x)} = 1 + t\cos(x) + \frac{t^2}{2}\cos^2(x) + \frac{t^3}{6}\cos^3(x) + \ldots \end{align*}$

einzusetzen, aber das wird alles in allem ziemlich eklig. Brauchst du das wirklich? Die ersten paar Momente kann man auf diese Weise nämlich noch ganz gut ausrechnen, aber einen allgemeinen Ausdruck für alle Momente zu finden, sehe ich derzeit nicht.

01.08.2017, 16:34

Romaxx

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Das ist eigentlich schon ganz gut, denn ich kann das Integral

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi\boldsymbol\lambda}} \int e^{-\frac{(x-\boldsymbol\lambda)^2}{2}}cos(x)dx \end{eqnarray*}$

mit [attach]45011[/attach]

lösen zu

$\begin{eqnarray*} E[cos(X)] = e^{-\frac{\boldsymbol\lambda}{2}}cos(\boldsymbol\mu) \end{eqnarray*}$

und mit dem Addtionstheorem

$\begin{eqnarray*} \cos^n x = \frac{1}{2^n} {n \choose \frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} {n \choose k} \cos{((n-2k) x)} ; \quad n \in \mathbb{N} \text{ und } n \text{ gerade } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos^n x = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} {n \choose k} \cos{((n-2k) x)} ; \quad n \in \mathbb{N} \text{ und } n \text{ ungerade} \end{eqnarray*}$

kann ich alle cos Ausdrücke umformen.

Die Frage ist nur, wie behandle ich die Monome dazu.

p.s. das mit den Monomen ist egal, dachte das sind auch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , daher bekomme ich die Einzelintegrale gelöst. Die Reihe sollte konvergieren, die Frage ist, ob es einen einfacheren Ausdruck gibt. Ich rechne erst einmal noch und poste dann die aufgelöste Reihe.

Grüße

01.08.2017, 17:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Romaxx
$\begin{eqnarray*} \cos^n x = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} {n \choose k} \cos{((n-2k) x)} ; \quad n \in \mathbb{N} \text{ und } n \text{ ungerade} \end{eqnarray*}$

Ah ja, das hatte ich momentan nicht auf dem Schirm: Dass die n-te Kosinuspotenz als Linearkombination von einfachen Kosinustermen $\begin{eqnarray*} \cos(x),\ldots,\cos(nx) \end{eqnarray*}$ darstellbar ist, war mir klar - ich hätte jetzt nur nicht gedacht, dass die Koeffizienten so einfacher Natur sind - aber kann man wohl aus $\begin{eqnarray*} \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$ plus binomischer Expansion so herleiten, Ok. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.08.2017, 18:19

Romaxx

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Die Reihe lautet

$\begin{eqnarray*} E[e^{t\tilde X}] =\sum_{n\in\mathbb N, even}\left(\frac{1}{2^n n!}\binom{n}{\frac{n}{2}}+\frac{2}{2^n n!}\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}\binom{n}{k}e^{-\frac{(n-2k)^2\boldsymbol\lambda}{2}}\cos((n-2k)\boldsymbol\mu)\right)t^n+\sum_{n\in\mathbb N, uneven}\left(\frac{2}{2^n n!}\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}\binom{n}{k}e^{-\frac{(n-2k)^2\boldsymbol\lambda}{2}}\cos((n-2k)\boldsymbol\mu)\right)t^n \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} E[e^{t\tilde X}] =\sum_{n\in\mathbb N}\left(\frac{1}{2^n n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}e^{-\frac{(n-2k)^2\boldsymbol\lambda}{2}}\cos((n-2k)\boldsymbol\mu)\right)t^n \end{eqnarray*}$

Sieht jemand weitere Vereinfachungen, bzw. sogar eine einfachen funktionalen Zusammenhang?

Danke

p.s. ich glaube, der Ausdruck kann als Exponetialfunktion geschrieben werden, dazu müsste ich aber $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}\binom{n}{k}e^{-\frac{(n-2k)^2\boldsymbol\lambda}{2}}\cos((n-2k)\boldsymbol\mu)\right) \end{eqnarray*}$ als Ausdrücke hoch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ schreiben, was mir noch schwer fällt zu erkennen. habe das mit der $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ korrigiert

01.08.2017, 19:21

HAL 9000

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In beiden Summen fehlt der Vorfaktor $\begin{align*} \frac{1}{n!} \end{align*}$ , herrührend noch ganz oben von der Reihenentwicklung $\begin{align*} e^{t\cos(x)} \end{align*}$ . Ansonsten scheint aber alles zu stimmen. Freude

Freude

Zitat:

Original von Romaxx
p.s. ich glaube, der Ausdruck kann als Exponetialfunktion geschrieben werden, dazu müsste ich aber $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}\binom{n}{k}e^{-\frac{(n-2k)^2\boldsymbol\lambda}{2}}\cos((n-2k)\boldsymbol\mu)\right) \end{eqnarray*}$ als Ausdrücke hoch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ schreiben, was mir noch schwer fällt zu erkennen.

Ich glaube nicht, dass da was zu machen ist: Das Problem ist das $\begin{align*} (n-2k)^{\color{red}2} \end{align*}$ im Exponentialterm: Würde da nur $\begin{align*} (n-2k) \end{align*}$ stehen - ja, dann wäre was machbar. Aber so sehe ich schwarz. unglücklich

unglücklich

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02.08.2017, 12:47

Romaxx

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Ok, wie sieht es mit dem Konvergenzradius aus?

Der Ansatz des Quotientenkriteriums führt mich leider nicht ans Ziel:

$\begin{eqnarray*} r=\lim _{n\rightarrow \infty } \left( {\frac {{2}^{n+1} \left( n+1 \right) !\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{e}^{- \left( n-2\,k \right) ^{2}}\cos \left( -n+2\,k \right) }{{2}^{n}n!\,\sum _{k=0}^{n+1}{ n+1\choose k}{e}^{- \left( n+1-2\,k \right) ^{2}}\cos \left( -n-1+2\,k \right) }} \right)<br /> =\lim _{n\rightarrow \infty } \left( {\frac {{2}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{e}^{- \left( n-2\,k \right) ^{2}}\cos \left( -n+2\,k \right) }{\,\sum _{k=0}^{n+1}{ n\choose k}{e}^{- \left( n+1-2\,k \right) ^{2}}\cos \left( -n-1+2\,k \right) }} \right) \end{eqnarray*}$

bzw.

gibt es für die Potenzreihe einen einfachen Ausdruck abhängig auch von t, der Sie von oben beschränkt für alle t?

02.08.2017, 13:00

HAL 9000

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Konvergenzradius??? Wegen $\begin{align*} |\bar{X}|=|\cos(X)|\leq 1 \end{align*}$ ist

$\begin{align*} E\left[ e^{t\bar{X}} \right] \leq E\left[ e^{|t|} \right] = e^{|t|} < \infty \end{align*}$ ,

also Konvergenzradius $\begin{align*} \infty \end{align*}$ .

02.08.2017, 13:03

Romaxx

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Oder auch so Freude

Freude

10.12.2017, 22:37

Romaxx

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Hallo zusammen,

ich suche für festes $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ den Grenzwert folgendes Ausdruckes:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\to\infty}\sqrt{t}\log\left(1+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2^n n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}e^{-\frac{(n-2k)^2\boldsymbol\lambda}{2}}\cos((n-2k)\boldsymbol\mu)\right)\frac{1}{\sqrt{t}^{n}}\right) \end{eqnarray*}$

Mich würde auch Maple interessieren (Hab das gerade nicht zu Hand).

Zur Herleitung der Reihe bitte oben nachsehen.

Grüße

10.12.2017, 23:51

sibelius84

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Hi,

in deiner ganzen Summe steht nichts, was von t abhängt, ist das Absicht? Dann könnte man die Summe ja z.B. alpha nennen (wenn sie denn konvergiert) und dann den Grenzwert für t mit del'Hospital bestimmen.

LG
sibelius84

edit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty}\sqrt t \log\left(1+\sum_{n=1}^\infty a_nt^{-\frac n 2 }\right) \stackrel{t=x^2}= \lim_{x\to\infty}x \log\left(1+\sum_{n=1}^\infty a_nx^{-n }\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x\to\infty}\frac{ \log\left(1+\sum_{n=1}^\infty a_nx^{-n }\right) }{\frac 1 x} \stackrel{\frac 0 0}=\lim_{x\to\infty}\frac{ \frac{1}{\log\left(1+\sum_{n=1}^\infty a_nx^{-n }\right)}\cdot\sum_{n=1}^\infty -na_nx^{-n-1} }{\frac {-1} {x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x\to\infty} \frac{1}{\log\left(1+\sum_{n=1}^\infty a_nx^{-n }\right)}\cdot\sum_{n=1}^\infty na_nx^{-n+1} =\lim_{x\to\infty} \frac{1\cdot a_1+\sum_{n=2}^\infty na_nx^{-n+1} }{\log\left(1+\sum_{n=1}^\infty a_nx^{-n }\right)} = a_1. \end{eqnarray*}$

Wäre natürlich oberpraktisch, wenn das alles so stimmen würde und du dich daher um die Summe gar nicht scheren bräuchtest. Findet jemand einen Fehler? Darf man das alles überhaupt so machen, mit der Reihe da drin?

10.12.2017, 23:57

Romaxx

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Schau noch einmal genau, da ist ein wurzel t ganz am Ende smile

smile

. Trotzdem Danke.

11.12.2017, 00:15

sibelius84

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Ja, ist mir noch aufgefallen, die Wurzel aus t hängt vom Summenindex n ab. Geht aber evtl. trotzdem, habe meinen obigen Beitrag editiert.

edit: Fehler gefunden: Der Teil 1/(log(1+summe...) konvergiert nicht gegen 1, sondern gegen Unendlich. Damit müsste nun der ganze Ausdruck gegen Unendlich gehen, also divergent sein.

Ich glaube, ich schaue mir das lieber morgen nachmittag noch mal in Ruhe an, anscheinend ist es jetzt zu spät für mich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.12.2017, 10:39

HAL 9000

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Statt $\begin{align*} \log\left( 1+\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^{-n} \right) \end{align*}$ steht einfach nur $\begin{align*} \left( 1+\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^{-n} \right) \end{align*}$ im Nenner, der Grenzwert $\begin{align*} a_1 \end{align*}$ für den Gesamtausdruck ist aber durchaus richtig. Bleibt nur noch die Vereinfachung dieses Koeffizienten:

$\begin{align*} a_1 = e^{-\frac{\lambda}{2}}\cos(\mu) \end{align*}$

P.S.: Seit wann bist du denn Garak? Da muss man ja richtig aufpassen, den habe ich als äußerst heimtückisch und verschlagen in Erinnerung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.12.2017, 12:57

sibelius84

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Ah ok, da ist beim fleißigen Copy&Pasten des LaTeX-Codes gestern abend einfach der Logarithmus hängen geblieben. smile

smile

Schön, dass a_1 richtig ist und dies einem eventuell sogar die eingehendere Beschäftigung mit der Summe erspart, falls man nur an dem Grenzwert interessiert ist.

Zum PS / off-topic:
Garak ist einfach nur klasse, witzig und unterhaltsam... außerdem hätte Sisko es ohne ihn nie geschafft, die Romulaner in den Krieg gegen das Dominion zu holen. Ganz zum Schluss gehörte er informell sogar zur Besatzung der Defiant, oder? Ein wenig Verschlagenheit für ein gutes Ziel einzusetzen, das bewundere ich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

https://www.youtube.com/watch?v=k2q2ySAOyqo

14.12.2017, 20:02

Romaxx

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Ich schreibe die Herleitung der Reihe jetzt noch einmal geordnet auf:

Gesucht wird fuer die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} \tilde X=cos(X) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} X\sim\mathcal{N}(\boldsymbol\mu,\boldsymbol\lambda) \end{eqnarray*}$ , die Momenterzeugende Funktion

$\begin{eqnarray*} E[e^{t\tilde X}] = \frac{1}{\sqrt{2\pi\boldsymbol\lambda}}\int e^{-\frac{(x-\boldsymbol\mu)^2}{2\boldsymbol\lambda}}e^{t\cos(x)}dx,\quad (2) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} e^x=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}} \end{eqnarray*}$ ,

und damit

$\begin{eqnarray*} e^{t\cos(x)} = \sum _{n=0}^{\infty}{\frac{(tcos(x))^{n}}{n!}}.\quad (1) \end{eqnarray*}$

Wir können nun mit

$\begin{eqnarray*} \cos^n x = \frac{1}{2^n}\ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cos((n-2k)x) ; \quad n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

dies umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} (1)=1+\sum _{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{2^n n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cos((n-2k)x) \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} |\bar{X}|=|\cos(X)|\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} E\left[ e^{t\bar{X}} \right] \leq E\left[ e^{|t|} \right] = e^{|t|} < \infty \end{eqnarray*}$ ,

und damit der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Wir können also die Integration in (2) komponentenweise durchführen.

Dazu benötigen wir

[attach]46024[/attach]

$\begin{eqnarray*} (2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\boldsymbol\lambda}}\int e^{-\frac{(x-\boldsymbol\mu)^2}{2\boldsymbol\lambda}}(1+\sum _{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{2^n n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cos((n-2k)x))dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =1+\sum _{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{2^n n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\int\frac{1}{\sqrt{2\pi\boldsymbol\lambda}} e^{-\frac{(x-\boldsymbol\mu)^2}{2\boldsymbol\lambda}}\cos((n-2k)x))dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =1+\sum _{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{2^n n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{-\frac{(n-2k)^2\boldsymbol\lambda}{2}}\cos((n-2k)\mu)) \end{eqnarray*}$

Betrachten wir den Fall $\begin{eqnarray*} \mu=0, \lambda=1 \end{eqnarray*}$ erhalten wir

$\begin{eqnarray*} E[e^{t\tilde X}] =1+\sum _{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{2^n n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{-\frac{(n-2k)^2}{2}} \end{eqnarray*}$

27.12.2017, 17:53

Romaxx

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Hallo zusammen,

ich versuche obige Prozedure auf folgendes Szenario zu erweitern:

Gesucht wird fuer die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} \tilde X=cos(X) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} X\sim\mathcal{N}(\boldsymbol\mu,\boldsymbol\lambda) \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} Y\sim\mathcal{N}(\boldsymbol\mu_Y,\boldsymbol\lambda_Y) \end{eqnarray*}$ , beide Zufallsvariablen unabhängig, die Momenterzeugende Funktion

$\begin{eqnarray*} E[e^{t\tilde X}] = \frac{1}{2\pi\sqrt{\boldsymbol\lambda \boldsymbol\lambda_Y}}\int e^{-\frac{(x-\boldsymbol\mu)^2}{2\boldsymbol\lambda}} e^{-\frac{(y-\boldsymbol\mu_Y)^2}{2\boldsymbol\lambda_Y}}e^{ty^2\cos(x)}dxdy \end{eqnarray*}$

Integration über y ergibt:

$\begin{eqnarray*} E[e^{t\tilde X}] = \frac{1}{\sqrt{2\pi\boldsymbol\lambda }}\int e^{-\frac{(x-\boldsymbol\mu)^2}{2\boldsymbol\lambda}} \frac{e^{\frac{\boldsymbol\mu_Y^2}{2\boldsymbol\lambda_Y}\left(\frac{1}{1-2t\boldsymbol\lambda_Ycos(x)}-1\right)}}{\sqrt{1-2t\boldsymbol\lambda_Ycos(x)}} dx \end{eqnarray*}$

Was nicht sehr schön aussieht. Für den Fall der Standardnormalverteilung für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} E[e^{t\tilde X}] = \frac{1}{\sqrt{2\pi\boldsymbol\lambda }}\int e^{-\frac{(x-\boldsymbol\mu)^2}{2\boldsymbol\lambda}} \frac{1}{\sqrt{1-2t cos(x)}} dx \end{eqnarray*}$

Sieht etwas schöner aus, leider komme ich auch hier nicht weiter.

Vielen Dank für eure Unterstützung.

Romaxx

29.12.2017, 15:54

Romaxx

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Ist hier irgendein Ergebnis in Form einer Reihe überhaupt vorstellbar.
Wie mir scheint nicht. verwirrt

verwirrt

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