Bijektivität von sinh und Cosh

Neue Frage »

Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektivität von sinh und Cosh
Meine Frage:
Hallo alle zusammen wie kann ich zeigen das der Sinh und cosh Bijektive Funktionen sind ? Bijektiv heißt ja Injektiv und Surjektiv ...

Meine frage wäre :

Wenn ich die Umkehrfunktion berechne habe ich damit Automatisch gezeigt das die Funktion Bijektiv ist ?
Wenn nein dann würde ich :

Meine Ideen:
Also Spontan wäre meine Idee das ich zeige das Cosh und Sinh Streng Monoton sind somit hätte ich nämlich gezeigt das diese Funktionen Injektiv sind..

zu der Surjektivität ist es genug wenn ich zeige das die Funktionen Stetig sind ?
Wenn Sie Stetig sind dann treffen die Funktionen ja jeden Bildbereich das heißt doch aber Surjektiv.. also f(x)=y zu jedem y gibt es ein x..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

auf Definitionsbereich ist nicht injektiv, und damit auch nicht bijektiv. Wenn du also über Bijektivität dieser Funktion sprichst, musst du geeignete Definitions- und Wertemengen angeben.
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »



und



so jetzt..

Stimmt das das die Funktion Surjektiv ist wenn die Funktion Stetig ist ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit der Funktion sagt nur, dass die erreichbare Wertemenge zusammenhängend ist, hier also ein Intervall, aber das ist ja noch lange nicht Surjektivität. So ist z.B.



stetig, injektiv, aber nicht surjektiv: Funktionswert 0 taucht nie auf.
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

achso ich verstehe..

Das heißt nur weil eine Funktion Stetig ist heißt das nicht das die Funktion alle Funktionswerte vom Intervall liefert.. sondern das die Funktionswerte zusammenhängend ist ich verstehe..

Aber wenn die Wertemenge [0; unendlich) ist und die 0 nie angenommen wird warum schreiben wir nicht einfach (1;unendlich) ?


Das heißt die Injektivität ist ja noch relativ einfach zu zeigen man zeigt einfach nur das die Funktionen Streng Monoton sind..
aber wie soll ich dann die Surjektivität zeigen ? Anschaulich ist das ja klar die Funktion liefert alle werte vom Intervall
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

Also Die Surjektivität beim Sinh ist ja einfach da f : ℝ → ℝgilt, also der Wertebereich alle reellen Zahlen beinhaltet.

Die Strengmonotonie kann ich entweder durch die Definition zeigen oder ich kann zeigen das die Steigung der Ableitung >0 bzw <0 ist welche variante würdest du mir raten ?


Die ableitung (Sinh)' = Cosh also muss ich ja irgendwie zeigen das für alle x element R gilt das
Cosh(x) >0 ist .. wie mache ich das am besten ?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stella231
Aber wenn die Wertemenge [0; unendlich) ist und die 0 nie angenommen wird warum schreiben wir nicht einfach (1;unendlich) ?

Du missverstehst mich: Falls vorgegeben sein sollte, dass die Funktion



lautet, dann ist sie eben nicht surjektiv. Ist dagegen vorgegeben



so ist sie surjektiv! Wenn man immer die Freiheit hätte, die Zielmenge nach Lust und Laune anzupassen, dann bräuchten wir über den Begriff Surjektivität überhaupt nicht zu reden: Dann passen wir die Zielmenge immer als f(Definitionsmenge) an und hätten immer surjektive Funktionen. So wird das aber eben i.d.R. nicht gehandhabt. Augenzwinkern
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut ich verstehe wie kann ich dann zeigen das cosh(x) für alle x element R größer oder kleiner als 0 ist ?
Weil wenn ich das zeige habe ich zeigen können das die Funktion Sinh streng monoton ist also Injektiv ist..

Das ist cosh


e^x ist streng Monoton Steigend
e^-x ist Streng Monoton Fallend

Hmm wie kann ich nun zeigen das Cosh >0 oder <0 ist..
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stella231
wie kann ich dann zeigen das cosh(x) für alle x element R größer oder kleiner als 0 ist ?

Da der Zähler von cosh(x) offensichtlich immer positiv ist, ist auch cosh(x) immer positiv. Nur was bringt dir das für die Injektivität oder die Surjektivität? verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend bringt der Fragesteller Positivität (absoluter Vergleich) und Monotonie (relativer Vergleich) durcheinander.
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte doch somit gezeigt das Sinh Streng Monoton ist ?
Eine Funktion f(x) ist doch Streng Monoton wenn gilt

f'(x)>0
f'(x)<0


Und da die Funktion Streng Monoton ist ist die Funktion
Injektiv
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem mit deinen Beiträgen ist, daß nur schwer zu durchschauen ist, um welche Fragestellung es gerade explizit geht. Nun denn, was die Injektivität von sinh angeht, wäre das ein akzeptabler Beweis.
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut dann nocheinmal !

Also ich möchte Jetzt Zeigen das Sinh eine Umkehrfunktion besitzt. Dazu will ich zeigen das Sinh Injektiv und Surjektiv ist. Da sinh von R nach R geht also der Definitionsbereich und Wertebereich ist Sinh Surjektiv.
Die Injektivität möchte ich zeigen indem ich zeige das f Streng Monoton ist.

Es gilt :

Wenn für alle x gilt f'(x)>0 Dann ist f Streng Monoton Steigend
Wenn für alle x gilt f'(x)<0 Dann ist f Streng Monoton fallend


An dieser Stelle ( Leopold warum verwechsel ich positivität und Monotonie ?)


Und da die Ableitung von Sinh = Cosh ist
Verusche ich einen Beweis zu finden das Cosh (x) für alle x > oder < 0 ist.

Ist die Vorgehensweise falsch ?
Und wie kann ich das richtig Begründen?

Danke
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vorgehensweise zum Nachweis der Injektivität von ist korrekt. Der Nachweis der Surjektivität jedoch stimmt nicht.

Zitat:
Original von HAL 9000
Wenn man immer die Freiheit hätte, die Zielmenge nach Lust und Laune anzupassen, dann bräuchten wir über den Begriff Surjektivität überhaupt nicht zu reden: Dann passen wir die Zielmenge immer als f(Definitionsmenge) an und hätten immer surjektive Funktionen. So wird das aber eben i.d.R. nicht gehandhabt. Augenzwinkern


Tip: Begründe, daß die -Funktion ungerade ist und untersuche das Randverhalten.

Was meine Bemerkung zur Verwechslung angeht, so hat klarsoweit schon geschrieben, wieso es bei deinen Ausführungen zu Mißverständnissen kommt.
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ok danke.

Eine frage:

e^x + e^-x kann dieser Ausdruck eigentlich nie negativ sein?

Achso nein e funktion liefert keine Negativen Zahlen sorry.

Zu der Surjektivität ich verstehe nicht genau warum das falsch ist und mir ist das schon wichtig wo der fehler ist..
wir haben ja eine Abbildung was von den Reelen Zahlen in die Reelen zahlen abbildet.. also ist der Ganze Bildbereich die reelen zahlen verwirrt



Aber zu deinem Tipp:

Der Sinh ist ungerade das heisst es gilt -Sinh(x) = Sinh(-x)
Wie untersuche ich das randverhalten ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stella231
wir haben ja eine Abbildung was von den Reelen Zahlen in die Reelen zahlen abbildet.. also ist der Ganze Bildbereich die reelen zahlen verwirrt

Deine Folgerung ist schlicht falsch. Wenn eine Abbildung in die reellen Zahlen abbildet, heißt das ja noch lange nicht, daß wirklich jede reelle Zahl als Bildwert "erwischt" wird. Die Bildmenge muß also nicht die kompletten reellen Zahlen umfassen.

Zitat:
Original von Stella231
Wie untersuche ich das randverhalten ?

Bilde den Grenzwert für x gegen unendlich. Allerdings brauchst du für diese Betrachtung auch die Stetigkeit des sinh.

Vielleicht wäre es einfacher, wenn du zeigst, daß die Gleichung für jedes y exakt eine Lösung hat.
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay und wie mache ich das verwirrt

Ich könnte nach x umformen und zeigen das für alle x eine Lösung existiert und diese eindeutig ist ..
naja die eindeutigkeit haben wir ja schon durch die Injektivität gegeben es würde eigentlich also aussreichen
Wenn ich zeige das für alle x eine Lösung existiert wenn ich das zeige müssen ja alle Lösungen zwangsläufig verschieden sein wegen der Injektivität..

Kann man das so machen ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stella231
Ich könnte nach x umformen und zeigen das für alle x eine Lösung existiert und diese eindeutig ist ..

Kleines Mißverständnis: du mußt zeigen, daß für jedes y ein x-Wert als Lösung der Gleichung existiert. Zum Beweis der Surjektivität muß diese Lösung nicht einmal eindeutig sein. Substituiere dazu e^x = z und löse die Gleichung nach z auf.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was schwierig und was einfach ist, hängt natürlich auch immer vom persönlichen Geschmack ab. Ich möchte aber hier doch klarsoweit widersprechen, wenn er dir empfiehlt, die Lösbarkeit dieser Gleichung zu untersuchen (was natürlich geht). Warum der Einsatz der Stetigkeit vermieden werden soll, verstehe ich nicht, wo du ja bereits ohne jede Hemmung und mit vollem Recht sogar die Differenzierbarkeit dieser Funktionen benutzt. Mein Tip geht wie folgt: Das Randverhalten untersuchst du, indem du bzw. gehen läßt. Und wenn du die Ungeradheit der Funktion hast, kannst du dich sogar auf den Fall mit positiv unendlich beschränken, weil sich der andere Fall durch die Symmetrie ergibt. Und so fällt dir die Surjektivität in den Schoß.
Nichtsdestotrotz ist es eine nützliche Übung, die Auflösbarkeit der Gleichung nach zu untersuchen. In vielen Fällen ist das explizite Auflösen aber gar nicht möglich, so daß dir nur eine Argumentation, wie von mir vorgeschlagen, übrigbleibt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ich möchte aber hier doch klarsoweit widersprechen, wenn er dir empfiehlt, die Lösbarkeit dieser Gleichung zu untersuchen (was natürlich geht).

Das trifft mich jetzt ins Mark. traurig
Prinzipiell habe ich ja nichts gegen dein Vorgehen. Aber anscheinend ist Stella231 noch nicht so vertraut mit dem Thema, daß es durchaus auch mal sinnvoll sein kann, die Lösbarkeit der Gleichung sinh(x) = y direkt zu untersuchen. Bei deinem Verfahren benötigt man versteckt auch den Zwischenwertsatz, was ja auch nicht unbedingt als gegeben vorausgesetzt werden kann.
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ich würde gerne beide varianten probieren smile

den Zwischenwertsatz kenne ich Freude


1. Vorgehensweise (Klarsoweit)

Durch Subs von haben wir

wenn ist wie kann ich folgern ? einfach 1/z ? Big Laugh


2.Vorgehensweise ( Leopold)

Also ich muss dann einach nur sinh(x) gegen unendlich streben lassen..

bzw ..


also meine Vermutung ist wenn ich x gegen unendlich laufen lasse geht der term ins unendlcihe..
Das sieht man auch an einer skizze der sinh.. (ähnlich wie x^3). Das heißt also da die Funktion nicht beschränkt ist nimmt sie jeden Reelen Wert an (Also Surjektiv)

Zum Beweis das die Funktion ins unendliche Strebt:




bzw

da e^x und e^(-x ) Stetig ist ist die differenz zweier Stetiger Funktion wieder Stetig bzw da Sinh Diffbar ist folgt daraus das Sinh Stetig ist und wir können den Limes in die Funktion reinnehmen..

also haben wir mit den Grenzwertsätzen :



und da beide Ausdrücke gegen unendlich gehen geht der ganze Ausdruck gegen unendlich stimmt das so verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stella231
wenn ist wie kann ich folgern ? einfach 1/z ? Big Laugh

Ja. smile

Zitat:
Original von Stella231
da e^x und e^(-x ) Stetig ist ist die differenz zweier Stetiger Funktion wieder Stetig bzw da Sinh Diffbar ist folgt daraus das Sinh Stetig ist und wir können den Limes in die Funktion reinnehmen..

Das stimmt in dieser Form nicht. Du kannst den Limes in eine Summe (bzw. Differenz) nur dann ziehen, wenn der Grenzwert der einzelnen Summanden existiert. Das hat jetzt mit Stetigkeit rein gar nichts zu tun.

Wegen reicht es, lediglich das Verhalten von e^x zu untersuchen.
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

1.Vorgehensweise (Klarsoweit)









das sieht aus wie eine pq gleichung... verwirrt soll ich die Pq formel anwenden ?


2.Vorgehensweise

e^x strebt mit wachsendem x nach unendlich also geht der ganze Term nach unendlich aber wie schreibe ich das korrekt auf ? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stella231
das sieht aus wie eine pq gleichung... verwirrt soll ich die Pq formel anwenden ?

Ja, wenn du vorher noch das 2yz auf die linke Seite gebracht hast.
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

1.Vorgehensweise

Nagut also






und was sagt mir das jetzt aus ?


2. Vorgehensweise

e^x strebt mit wachsendem x nach unendlich also geht der ganze Term nach unendlich aber wie schreibe ich das korrekt auf ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stella231


und was sagt mir das jetzt aus ?

Wenn wir mal nur die positive Lösung betrachten, ist also die Gleichung nach x aufzulösen.

Zitat:
Original von Stella231
2. Vorgehensweise

e^x strebt mit wachsendem x nach unendlich also geht der ganze Term nach unendlich aber wie schreibe ich das korrekt auf ?

Ich würde zur Vereinfachung für x >= 0 nach unten abschätzen. Die Divergenz der rechten Seite ist nun offensichtlich.
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

1.








2.

okay also haben wir das und

wegen der symetrie .

So jetzt habe ich gezeigt das der Bildbereich von - unendlich nach +unendlich geht nun muss ich zeigen das tatsächlich auch jeder wert angenommen wird..

da hilft mir wohl der zwischenwertsatz:

Da die Funktion Stetig ist in ganz R kann der zwischenwertsatz angewendet werden.

und da gilt und


muss jeder wert im Intervall (-unendlich, +unendlich) angenommen werden oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stella231
1.



Bitte keine nicht existenten Logarithmusgesetze anwenden. Korrekt ist nur:

Zitat:
Original von Stella231
Da die Funktion Stetig ist in ganz R kann der zwischenwertsatz angewendet werden.

und da gilt und


muss jeder wert im Intervall (-unendlich, +unendlich) angenommen werden oder?

Im Prinzip ja, aber das müßtest du ggf. noch feingranularer ausformulieren, um den Zwischenwertsatz anwenden zu können. Da hilft ein Blick in die Voraussetzungen dieses Satzes.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stella231
1.



Oh! Schwere Sünde!

1. Die Logarithmusfunktion ist nicht linear.

2. Du mußt dich noch davon überzeugen, daß du den Logarithmus überhaupt anwenden darfst. Ist denn der Term stets positiv?

Und was ist mit ? Auch dazu mußt du dich noch äußern. Nicht einfach unter den Tisch fallen lassen.
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

nein ich lass das nicht unter den tisch fallen Klarsoweit hat geschrieben wir übernehmen zuerst den Positiven teil Big Laugh

1. Also gut dann haben wir was sagt das uns aber aus ?
heißt das für alle Positiven y finden wir ein x wert ?


2. Wie meinst du das ? Im prinzip benutze ich ja eine Folgerung aus dem Zws..
und Sinh ist ja in (- unendlich , + unendlich) Stetig (oder muss die Funktion im Kompakten Intervall Stetig sein ?) also muss sie jeden Wert annehmen der echt zwischen f(-unendlich) und f(+unendlich) liegt.. Weil Sinh Streng Monoton Steigt also f(-unendlich)<c<f(+unendlich)

jede Zahl c wird angenommen... oder nicht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stella231
1. Also gut dann haben wir was sagt das uns aber aus ?
heißt das für alle Positiven y finden wir ein x wert ?

1. Zunächst ist für jedes reelle y (auch für negative y). Das solltest du im Zweifelsfall noch nachweisen.
2. Zu jedem reellen y gibt es ein x, das sich gemäß der oberen Gleichung bestimmen läßt.
3. Der Fall ist dann im Grunde obsolet. (Bei genauer Betrachtung ist z_2 auch negativ, was dann zu gewissen Schwierigkeiten mit der ln-Funktion führt.

Zitat:
Original von Stella231
2. Wie meinst du das ? Im prinzip benutze ich ja eine Folgerung aus dem Zws..
und Sinh ist ja in (- unendlich , + unendlich) Stetig

Sofern du auf eine derartige Folgerung verweisen kannst, ist alles in Ordnung. Ich möchte ja auch nur, daß formal alles sauber und sattelfest ist. smile
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ich verstehe nun super danke Freude

Aber nochmal zu sicherheit für den Zws muss die Funktion im Kompakten intervall Stetig sein oder geht das auch wenn es im offenen Intervall Stetig ist ? Also wie in (-unendlich, +unendlich ) ?

Geht der Beweis zur Bijektivität beim Cosh genauso ? Also Analog ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stella231
Aber nochmal zu sicherheit für den Zws muss die Funktion im Kompakten intervall Stetig sein oder geht das auch wenn es im offenen Intervall Stetig ist ? Also wie in (-unendlich, +unendlich ) ?

Bei (-unendlich, +unendlich ) kann man ja immer ein geeignetes abgeschlossenes Intervall betrachten.

Zitat:
Original von Stella231
Geht der Beweis zur Bijektivität beim Cosh genauso ? Also Analog ?

Im Prinzip ja.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Stella231
Geht der Beweis zur Bijektivität beim Cosh genauso ? Also Analog ?

Im Prinzip ja.


Auf seinem maximalen Definitionsgebiet ist der Cosinus hyperbolicus gar nicht bijektiv. Dazu hat aber HAL schon einiges gesagt. Vielleicht noch einmal durcharbeiten.
Stella231 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe versucht zu zeigen das der Cosh Bijektiv ist und würde mich freuen wenn jemand mir sagen könnte ob das Mathematisch richtig ist.


Die Injektivität:

Wir möchten nun zeigen das die Funktion (Das Implikation zeichen soll ein Pfeil nach rechts darstellen) Injektiv ist.

Dazu benutzen wir das eine Funktion Injektiv ist wenn die Funktion Streng Monoton ist bzw. wenn

oder gilt. in unserem Fall müssen wir diese eigenschaft für alle x>0 Zeigen da Cosh im gesamten Definitionsbereich nicht Injektiv ist.

Es ist also zu zeigen das Sinh(x) > 0 oder Sinh(x) < 0 für alle x >0 ist.

Durch eine Skizze erkennt man das sinh(x) größer als 0 ist. Also zeigen wir nun das gilt sinh(x)>0.

Der Term ist größer null wegen

und .


Da sinh im angegebenen Intervall stets Streng Monoton Steigt ist Cosh Injektiv.

Nun zeigen wir die Surjektivität von cosh im angegebenen Intervall :

für alle x gilt :

( darf man an dieser Stelle ein "=" machen ? )

Da e^-x ---> 0 Konvergiert und e^x gegen ---> unendlich.

Da die Funktion Cosh Differenzierbar ist muss die Funktion Stetig sein. Eine Folgerung aus dem Zws ist das nun alle Werte angenommen werden müssen !
Somit wurde gezeigt das Cosh Surjektiv ist.

Aus Injektiv und Surjektiv folgt Bijektiv.

Ist der Beweis richtig ? Ich habe mir wirklich mühe gegeben..

Eine frage noch zu der Folgerung vom Zws muss ich für die Folgerung auch noch zeigen das f(a)*f(b) < 0 ist ? ( muss man ja beim Zws)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stella231
Wir möchten nun zeigen das die Funktion (Das Implikation zeichen soll ein Pfeil nach rechts darstellen) Injektiv ist.

Mir wäre ja ein links abgeschlossenes Intervall lieber:

Zitat:
Original von Stella231
( darf man an dieser Stelle ein "=" machen ? )

Ja, keine Einwände.

Zitat:
Original von Stella231
Ist der Beweis richtig ? Ich habe mir wirklich mühe gegeben..

Aus meiner Sicht ist der ok.

Zitat:
Original von Stella231
Eine frage noch zu der Folgerung vom Zws muss ich für die Folgerung auch noch zeigen das f(a)*f(b) < 0 ist ? ( muss man ja beim Zws)

Diese Bedingung ist ein Spezialfall des Zwischenwertsatzes, wo es um die Existenz einer Nullstelle geht.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »