Konstruktion endlicher Körper

02.08.2017, 14:32	AlexKP	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktion endlicher Körper Ich beschäftige mich gerade mit Körpererweiterungen und habe eine Frage zum Beweise der Existenz endlicher Körper. Satz: Der Zerfällungskörper K von $\begin{eqnarray} Q(X)=X^{p^m}-X \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ hat $\begin{eqnarray} p^m \end{eqnarray}$ Elemente. Beweis: Betrachte $\begin{eqnarray} K'=\{k \in K \| k^{p^m}-k=0\} \end{eqnarray}$ . Dann ist K' ein Unterkorper von K mit $\begin{eqnarray} p^m \end{eqnarray}$ Elementen, also K'=K. Ich verstehe die Folgerung K'=K nicht. Muss man nicht wenigstens noch $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \subseteq K' \end{eqnarray}$ zeigen?
02.08.2017, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, der Zerfällungskörper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ enthält $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ , also muss $\begin{eqnarray} \mathbb F_p\le K' \end{eqnarray}$ der Primkörper von $\begin{eqnarray} K'\le K \end{eqnarray}$ sein.
02.08.2017, 20:00	AlexKP	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich habe es verstanden.

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