Tangentialraum von Untermannigfaltigkeit

02.08.2017, 20:26	kanu	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentialraum von Untermannigfaltigkeit Meine Frage: Hi zusammen! Definiert man den Tangentialraum $\begin{eqnarray} T_pM \end{eqnarray}$ an eine abstrakte Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ als die Derivationen auf den Keimen $\begin{eqnarray} \mathcal{O}_{p, M} \end{eqnarray}$ von glatten Funktionen $\begin{eqnarray} U\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und schreibt man später für eine Untermannigfaltigkeit $\begin{eqnarray} M_0 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} T_pM_0 \subseteq T_pM \end{eqnarray}$ , was genau meint man mit " $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ "? Meine Ideen: Streng genommen ist $\begin{eqnarray} T_pM_0\cap T_pM = \emptyset \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} M_0\neq M \end{eqnarray}$ , weil ja schon die Derivationen an den Punkten in den jeweiligen Mannigfaltigkeiten, $\begin{eqnarray} \mathcal{O}_{p, M} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal{O}_{p,M_0} \end{eqnarray}$ , völlig verschiedene Mengen sind. Wahrscheinlich gibt es eine "kanonische" Abbildung, die ich nicht richtig sehe: Mittels $\begin{eqnarray} \iota: M_0\to M, x\mapsto x \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} \iota^: \mathcal{O}_{p, M}\to \mathcal{O}_{p, M_0}, f\mapsto f\circ\iota \end{eqnarray}$ . Man hat dann das Differenzial $\begin{eqnarray} d\iota_p: T_pM_0\to T_pM, v\mapsto v\circ\iota^* \end{eqnarray}$ . Ist vllt. mit $\begin{eqnarray} T_pM_0\subseteq T_pM \end{eqnarray}$ einfach das Bild $\begin{eqnarray} d\iota_p(T_pM_0)\subseteq T_pM \end{eqnarray}$ gemeint und man schreibt " $\begin{eqnarray} d\iota_p(T_pM_0) = T_pM_0 \end{eqnarray*}$ "? Vielen Dank schonmal!
05.08.2017, 20:01	kanu	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich war die "Idee" von oben absolut richtig und im Prinzip schon die Antwort. Ich hatte bloß nicht vor Augen, dass $\begin{eqnarray} d\iota_p \end{eqnarray}$ automatisch injektiv ist. Jedenfalls war das mein Problem, vielleicht hilft es ja irgendwem. Schöne Grüße

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