Borel-Cantelli

03.08.2017, 11:55	Borellus-Cantellus	Auf diesen Beitrag antworten »
Borel-Cantelli Meine Frage: Hallo ich habe folgende Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\geq 1}) \end{eqnarray}$ unabhänging mit Erfolgswahrscheinlichkeit p $\begin{eqnarray} \in ]0,1[ \end{eqnarray}$ Bernoulli-verteilt und $\begin{eqnarray} N_n := min ( {k \geq 0 : X_{n+k}=0}) \end{eqnarray}$ Zeige $\begin{eqnarray} lim sup \frac{N_n}{log_{\frac{1}{p}}(n)} =1 f.s. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein erster Gedanke war Borel-Cantelli Das ich mir sowas baue wie $\begin{eqnarray} P(N>log_{\frac{1}{p}}(n^{1 \pm \epsilon})) \end{eqnarray}$ Aber dabei komm ich irg wie nicht so richtig weiter Hab dann mal versucht den log umzuschreiben aber hat auch nix gebracht Weiß jemand wie ich da weiter komme?
04.08.2017, 09:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} N_n \end{align}$ ist geometrisch verteilt (Variante B) mit Parameter $\begin{align} 1-p \end{align}$ , es gilt demnach $\begin{align} P(N_n \geq k) = p^k \end{align}$ . Damit ist kein Problem nachzuweisen, dass für alle $\begin{align} \varepsilon>0 \end{align}$ $\begin{align} \sum_{n=2}^{\infty} P\left( \frac{N_n}{\log_{1/p}(n)} > (1+\varepsilon) \right) < \infty \end{align}$ gilt, und dass deshalb gemäß Borel-Cantelli $\begin{align} \limsup_{n\to\infty} \frac{N_n}{\log_{1/p}(n)} \leq 1 \end{align}$ f.s. gilt. Ebenso einfach ist der Nachweis von $\begin{align} \sum_{n=2}^{\infty} P\left( \frac{N_n}{\log_{1/p}(n)} > (1-\varepsilon) \right) = \infty \end{align}$ , nur kann man darauf nicht "den anderen" Borel-Cantelli anwenden, da die $\begin{align} N_n \end{align}$ leider nicht unabhängig sind. Hier muss man sich also noch etwas einfallen lassen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »