Konvergenz nach Verteilung zeigen

03.08.2017, 16:02

katha123

Konvergenz nach Verteilung zeigen

Meine Frage:
Hey,

ich bin grad am Klausuraufgaben üben und bin über eine Aufgabe gestolpert, bei der ich nicht so richtig weiter weiß:

Sei $\begin{eqnarray*} $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ \end{eqnarray*}$ eine Folge von Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray*} $X_n\sim \Gamma_{\lambda, n}$ \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} $n\in\mathbb{N}$ \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} $\lambda>0$ \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie, dass
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{X_n^{3/2}-\frac{n}{\lambda}\sqrt{X_n}}{n}\stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow} N\left(0,\frac{1}{\lambda^3}\right)<br /> \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} $n \rightarrow \infty$ \end{eqnarray*}$ .
Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Slutsky: Sind $\begin{eqnarray*} $X_n, X, Y_n, n\in\mathbb{N},$ \end{eqnarray*}$ reelle Zufallsvariablen auf $\begin{eqnarray*} $(\Omega, \mathcal{A}, P), c\in\mathbb{R}, f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ \end{eqnarray*}$ stetig und $\begin{eqnarray*} $X_n\stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow}X, Y_n\stackrel{P}{\rightarrow} c$ \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} $f(X_n, Y_n)\stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow}f(X,c) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Damit ich den Satz von Slutsky anwenden kann muss ich ja aus $\begin{eqnarray*} <br /> \frac{X_n^{3/2}-\frac{n}{\lambda}\sqrt{X_n}}{n} \end{eqnarray*}$ zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsvariablen $\begin{eqnarray*} Y_n, Z_n \end{eqnarray*}$ finden.
Ich kann $\begin{eqnarray*} Y_n\colon=\frac{X_n^{3/2}}{n} \end{eqnarray*}$ setzen. Gilt dann schon $\begin{eqnarray*} Y_n\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ nach Wahrscheinlichkeit?
Welche Aussage kann ich dann über $\begin{eqnarray*} Z_n\colon= \frac{1}{\lambda}\sqrt{X_n} \end{eqnarray*}$ treffen? Ich weiß, dass die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ so aussieht:
$\begin{eqnarray*} F_n(x)=\frac{\lambda^{3n-2}}{\Gamma(n)}x^{2(n-1)} e^{-\lambda^3x^2} \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz schon mal richtig oder bin ich grad komplett auf dem Holzweg?

Über eine Antwort würde ich mich riesig freuen.

03.08.2017, 16:58

HAL 9000

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Irgendwie muss man ja mal auf die Normalverteilung kommen. Und das wird wohl so geschehen:

$\begin{align*} X_n\sim \Gamma(\lambda,n) \end{align*}$ kann man auch als Summe von $\begin{align*} n \end{align*}$ unabhängig identisch $\begin{align*} \operatorname{Exp}(\lambda) \end{align*}$ -veteilten Zufallsgrößen interpretieren. Nach zentralem Grenzwertsatz konvergiert dann

$\begin{align*} \frac{X_n-E(X_n)}{\sqrt{V(X_n)}} = \frac{X_n-\frac{n}{\lambda}}{\sqrt{\frac{n}{\lambda^2}}} = \frac{\lambda}{\sqrt{n}}\cdot \left( X_n-\frac{n}{\lambda} \right) \end{align*}$

gegen eine Standardnormalverteilung.

Bleibt noch der Restfaktor $\begin{align*} \frac{1}{\lambda}\sqrt{\frac{X_n}{n}} \end{align*}$ zu untersuchen. Mit der gleichen Begründung wie eben (Summe unabhängiger exponentialverteilter Größen) konvergiert $\begin{align*} \frac{X_n}{n} \end{align*}$ gemäß GGZ gegen $\begin{align*} \frac{1}{\lambda} \end{align*}$ .

03.08.2017, 19:18

katha123

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Danke für die schnelle Hilfe smile

Kannst du mir nochmal erklären wie genau man auf $\begin{eqnarray*} \frac{X_n}{n}\stackrel{P}{\rightarrow} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ mit dem Gesetz der Großen Zahlen kommt?

Für die restliche Folgerung gilt dann:
Es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{X_n-E(X_n)}{V(X_n)}\stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow} X\sim N(0,1) \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} \frac{X_n}{n}\stackrel{P}{\rightarrow} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ gilt, ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda}\sqrt{\frac{X_n}{n}}\stackrel{P}{\rightarrow} \frac{1}{\lambda^{3/2}} \end{eqnarray*}$ .
Damit kann der Satz von Slutsky angewendet werden und es gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{X_n^{3/2}-\frac{n}{\lambda}\sqrt{X_n}}{n}=\frac{X_n-E(X_n)}{V(X_n)}\cdot \frac{1}{\lambda}\sqrt{\frac{X_n}{n}}\stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow}\frac{1}{\lambda^{3/2}}X\sim N\left(0,\left(\frac{1}{\lambda^{3/2}}\right)^2\cdot 1^2\right)=N\left(0,\frac{1}{\lambda^3}\right)<br /> \end{eqnarray*}$
Ist das jetzt korrekt?

03.08.2017, 19:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von katha123
Kannst du mir nochmal erklären wie genau man auf $\begin{eqnarray*} \frac{X_n}{n}\stackrel{P}{\rightarrow} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ mit dem Gesetz der Großen Zahlen kommt?

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} X_n\sim \Gamma(\lambda,n) \end{align*}$ kann man auch als Summe von $\begin{align*} n \end{align*}$ unabhängig identisch $\begin{align*} \operatorname{Exp}(\lambda) \end{align*}$ -veteilten Zufallsgrößen interpretieren.

Nach GGZ bedeutet das, dass der Mittelwert $\begin{align*} \frac{X_n}{n} \end{align*}$ gegen den Erwartungswert dieser Exponentialverteilung konvergiert, und der ist $\begin{align*} \frac{1}{\lambda} \end{align*}$ . Sogar f.s., was sogar etwas mehr ist als nur in Verteilung.

03.08.2017, 20:21

katha123

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Dankeschön smile

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