Ist diese Matrix positiv semidefinit?

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der_andere Auf diesen Beitrag antworten »
Ist diese Matrix positiv semidefinit?
Meine Frage:
Sei symmetrisch, positiv semidefinit von der Form



wobei , und .

Ist die Matrix positiv semidefinit?

Meine Ideen:
Man sieht recht leicht, dass , was natürlich noch nicht genügt.
Ich habe versucht das ganze induktiv zu zeigen. Der Fall klappt natürlich problemlos. Aber die Abschätzung im Schritt gelang mir nicht.

Der Versuch die positive Semidefinitheit über die Nichtnegativität der Hauptminoren zu zeigen, erschien mir nicht aussichtsreich.

Ein Gegenbeispiel habe ich auch noch nicht gefunden.

Habt ihr Ideen dazu?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist diese Matrix positiv semidefinit?
Ich habe es nicht durchgerechnet, aber vielversprechend sieht es aus es mit der Definition nachzuweisen.

D.h. fuer alle Vektoren gilt . Du willst nachweisen, dass fuer alle . (Tippfehler von dir verbessert). D.h. vereinfache ein wenig , indem du die `explizite' Darstellung von benutzt.
der_andere Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Vorschlag und den Hinweis auf den Tippfehler. Per Definition habe ich es auch versucht, komme aber nicht ganz durch:

Sei mit und .

Dann ist


Setzt man in obiger Ungleichung einmal und einmal , erhält man


Wenn man das ganze quadriert, sieht es schon fast gut aus. Aber eben nur fast:
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du dir bei der Berechnung von sicher? Wenn ich berechne, bekomme ich in der ersten Komponente bereits einen Summanden .
der_andere Auf diesen Beitrag antworten »

Hast recht, es sollte heißen. Hatte gedanklich schon gesetzt.

Also nochmal ausführlich:

IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Habe es raus. Man eine spezielle Wahl fuer treffen. Und die ist subtiler als deine.

Die Ungleichung gilt fuer alle . Also nimm dir das , so das am kleinsten wird. Am einfachsten ist du fasst als eine skalare Funktion in an. Dies ist eine quadratische Funktion, deren Minimum es zu bestimmen gilt. Das kann man z.B. ueber Ableiten machen.

Schluessendlich benoetigt man nur noch den Fakt, dass .

Edit: Es kann sein, dass die Aussage nur fuer gilt. Fuer ist es vermutlich falsch.
 
 
der_andere Auf diesen Beitrag antworten »

Sauber!
Also die Aussage gilt auf jeden Fall auch für . Man kann leicht zeigen, dass dies impliziert. Also können wir annehmen.

Sei .

Dann ist und .

Nun ist gdw. .

Das liefert schließlich


Damit sollten wir fertig sein. Vielen Dank.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön Freude
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