Ist Pi=3,1415... falsch und Pi=3,1446... richtig?

06.08.2017, 18:02

SigiGabler

Ist Pi=3,1415... falsch und Pi=3,1446... richtig?

Das ist mein erster Beitrag und ich hoffe, dass ich im richtigen Subforum poste.

Mir wurde vor Kurzem folgender Link vorgesetzt:
https: //tritonia4.wixsite.com/mysite-1/single-post/2017/08/02/The-Non-Transcendental-and-Exact-Value-of-%CF%80
(bitte kopieren und das Leerzeichen zwischen ":" und "/" löschen. Ich darf leider noch keine URL verlinken)

Ich weiß natürlich, dass Pi richtig ist, mir geht es nur darum, den Fehler in dieser Ableitung zu finden.
Meine Mathematikkenntnisse bewegen sich auf Abiturniveau. Dieses ist allerdings schon mehr als
30 Jahre her und bis heute ist natürlich wieder einiges verschütt gegangen.

Meiner Meinung nach passiert der Fehler schon in der zweiten Zeile, wo Pi=4b gesetzt wird.
Mit den passenden Einheiten bestückt würde die Formel für die Fläche dann ja m³ ergeben und nicht m².
Das Ergebnis sollte m² sein, ist aber b, eine Länge (m).
Diese Ableitung muss natürlich Murks sein, ich kann es nur nicht mathematisch korrekt formulieren.

Schöne Grüße,
Sigi

07.08.2017, 09:11

Gualtiero

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Guten Morgen!
Vorerst hier der Link zum bequemeren Erreichen der Seite.

Ich habe die darin dargestellten Überlegungen in drei Bildern skizziert und gebe sie frei wieder.

[attach]45038[/attach]

Links:
Kreis mit Durchmesser = 1 (=> Kreisumfang = PI)
Von Punkt C aus wird die Strecke PI/4 auf die Kreislinie abgeschlagen, der Schnittpunkt ist A'.
Über der Strecke CA' wird ein Quadrat errichtet.

Mitte:
Strecke a ist Teil der Strecke b

Rechts:
Wie und ob der Autor es überhaupt begründet, geht für mich aus dem Text nicht hervor, jedenfalls behauptet er:
Es verhalten sich die Flächen a*b zu b² wie b² zu b*c.

Damit kommt er zu

a/b = b/c

und darin liegt der Fehler.

Es verhält sich a zu b nicht wie b zu c, das kann man ganz leicht mittels Taschenrechner zeigen.

Nebenbei gesagt: ich halte den Beitrag nicht für das Ergebnis eines jener verbohrten Rechenfanatiker, die mathematische Grundsätze umstoßen wollen, sondern für ein Übungsbeispiel zum Auffinden von Fehlern.

07.08.2017, 23:22

SigiGabler

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@Gualtiero
Danke! Das war der entscheidende Hinweis.
Es sieht so aus, als ob der Autor hier mit einem Keplerdreieck trickst.
Damit kann man ja ein Quadrat konstruieren, dessen Umfang fast Pi entspricht.

Dankbare Grüße,
Sigi

08.08.2017, 10:19

SigiGabler

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Hm, trotzdem noch eins.
Dass a/b=b/c nicht stimmt, setzt in dem Fall ja voraus, dass Pi=3,141592...
Wegen Kepler-Dreieck: bei $\begin{eqnarray*} b=1/\sqrt[2]{\Phi} \end{eqnarray*}$ (wow, mein erster Latex-Code :-)) stimmt es nämlich schon.
Was, wenn ich Pi noch nicht kenne und erst bestimmen will?

08.08.2017, 12:13

Gualtiero

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Ich gebe zu, dass ich die geometrische Situation mit einem CAD-Programm nachgezeichnet habe, und da war es naheliegend, die vom Autor behauptete Proportion a/b = b/c nachzuprüfen und als falsch zu erkennen.

Der Autor jedoch benötigt den wahren Wert von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ für seine Ableitung nicht, das steht fest. Ich kann aber seinen Ausführungen nicht entnehmen (mein Englisch ist eher dürftig), wie er die Gültigkeit der Proportion begründet.

Zitat:

Zitat: Having the exact value of Ac, we set b^2, the area of the square with the same perimeter of the given circle, as the mean proportional between the area a*b and Ac= b*c to find out the value of a

a*b/b^2=b^2/b*c

Mit Ac muss die Kreisfläche gemeint sein.

Vielleicht beteiligen sich ja noch andere Helfer, die den Haken in der Sache finden.

08.08.2017, 13:57

Leopold

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Das Hinterhältige an dem "Beweis" ist, daß der Autor mit Variablen arbeitet, deren Werte schon längst bekannt sind. Ein deutlicher Hinweis dafür, daß er etwas zu verbergen hat. Dann kommt unvermittelt der von Gualtiero erwähnte Satz. Man ist so verwirrt, daß man den gar nicht versteht. Und weil man sich schämt, daß man ihn nicht versteht, ist man bereit, ihn zu glauben. Mit dieser Überrumpelungstaktik führt der Autor einen in die Irre.

1. Warum schreibt er immer $\begin{align*} c \end{align*}$ , wo doch $\begin{align*} c=1 \end{align*}$ ist?

2. Warum schreibt er immer $\begin{align*} b \end{align*}$ , wo doch $\begin{align*} b = \frac{\pi}{4} \end{align*}$ ist?

Worum geht es?

[attach]45040[/attach]

$\begin{align*} B^{*} \end{align*}$ ist so gewählt, daß die Strecke von $\begin{align*} C \end{align*}$ nach $\begin{align*} B^{*} \end{align*}$ , also $\begin{align*} b \end{align*}$ , genau so lang wie der Kreisbogen von $\begin{align*} C \end{align*}$ nach $\begin{align*} B \end{align*}$ ist, mit anderen Worten:

$\begin{align*} b = \frac{\pi}{4} \end{align*}$

Und der Flächeninhalt des Kreises ist $\begin{align*} \pi \end{align*}$ mal Radius im Quadrat, somit ebenfalls $\begin{align*} \frac{\pi}{4} = b \end{align*}$ .

Das rote Quadrat ist also umfangsgleich mit dem Kreis. So weit, so gut.
Und irgendwie folgert er nun, daß die Fläche des roten Quadrates das geometrische Mittel der Rechtecksfläche $\begin{align*} AB^*CD' \end{align*}$ und der Kreisfläche sein muß:

$\begin{align*} \frac{\text{Rechtecksfläche} \ AB^*CD'}{\text{Fläche rotes Quadrat}} = \frac{\text{Fläche rotes Quadrat}}{\text{Kreisfläche}} \end{align*}$

Für diese Behauptung sehe ich keinen Grund. Nicht der Leser hat zu begründen, daß das richtig ist, sondern der Autor. Aus

$\begin{align*} \frac{ab}{b^2} = \frac{b^2}{bc} \end{align*}$
(warum schreibt er hier $\begin{align*} b \end{align*}$ statt $\begin{align*} \frac{\pi}{4} \end{align*}$ und warum $\begin{align*} c \end{align*}$ statt 1?)

jedenfalls folgt sofort:

$\begin{align*} a = b^2 = \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 \approx 0{,}61685 \end{align*}$

Nach Pythagoras gilt aber

$\begin{align*} a = \sqrt{1^2 - b^2} = \sqrt{1 - \left( \frac{\pi}{4} \right)^2} \approx 0{,}61899 \end{align*}$

Das widerspricht sich offensichtlich.

Bei den numerischen Werten habe ich den bekannten exakten Wert für $\begin{align*} \pi \end{align*}$ verwendet. Will man das nicht tun und dem Autor glauben, so kann man aus den beiden Werten für $\begin{align*} a \end{align*}$ folgern:

$\begin{align*} \sqrt{1 - \left( \frac{\pi}{4} \right)^2} = \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 \end{align*}$

Damit wäre $\begin{align*} a = \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 \end{align*}$ die positive Lösung der quadratischen Gleichung

$\begin{align*} x^2 + x - 1 = 0 \end{align*}$

also $\begin{align*} a = \frac{1}{\Phi} \approx 0{,}61803 \end{align*}$ , wenn ich wie SigiGabler mit $\begin{align*} \Phi \end{align*}$ das Verhältnis des Goldenen Schnitts bezeichne. Der Autor folgert letztlich

$\begin{align*} \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 = \frac{1}{\Phi} \end{align*}$

$\begin{align*} \pi = 4 \cdot \sqrt{\frac{1}{\Phi}} \approx 3{,}14461 \end{align*}$

Ich denke, den Fehler hat Gualtiero aufgedeckt. Die entscheidende Verhältnisgleichung zwischen den betrachteten Flächen wird einfach behauptet. Ohne Grund, denn "we set" kann ich nicht als Begründung akzeptieren. Genau so könnte ich etwas anderes behaupten und bekäme dann meinen privaten persönlichen Wert für die Kreiszahl: $\begin{align*} \pi = \sqrt[9]{29809} \approx 3{,}14159 \end{align*}$

08.08.2017, 16:08

SigiGabler

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Jetzt kann ich es noch besser nachvollziehen, wie dabei getrickst wurde.
Danke noch einmal an Gualtiero und Leopold für die Hilfe.

Schöne Grüße,
Sigi

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Ist Pi=3,1415... falsch und Pi=3,1446... richtig?

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