Produkt von 4 Matrizen. Aussage möglich?

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07.08.2017, 11:59	TrolldiRola	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt von 4 Matrizen. Aussage möglich? Hallo liebe Leute habt ihr zufällig eine Idee wie man folgendes beweisen kann, bzw. ob man dies beweisen kann? Betrachte Matrizen B,D der gleichen Ordunung und C,F der gleichen Ordnung, so das das Produkt definiert ist: $\begin{eqnarray} BC=DF. \end{eqnarray}$ Die Behauptung ist : Diese Gleichheit liegt genau dann vor, wenn es eine orthogonale matrix Q gibt mit $\begin{eqnarray} BQ=D, Q^TC=F \end{eqnarray}$ . Die eine Richtung ist natürlich klar...
07.08.2017, 12:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Behauptung ist extrem falsch. Es stimmt schon nicht wenn $\begin{eqnarray} B,C,D,F \end{eqnarray}$ reelle Zahlen sind.
07.08.2017, 13:23	TrolldiRola	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Dimension künstlich auf 1 setzt, kann man nicht mehr von Orthogonalität sprechen, demnach solltest du dir mindestens die Dimension 2 ansehen. Und wie bereits gesagt gilt die eine Richtung per Definition, daher ist höchstens eine Richtung "extrem falsch". Sollte $\begin{eqnarray} B=C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D=F \end{eqnarray}$ gelten, so gibt es diese Aussage bereits.
07.08.2017, 13:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Verräts du mir dann bitte deine Definition von Orthogonalität?
07.08.2017, 13:51	TrolldiRola	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Matrix $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ ist orthogonal, falls $\begin{eqnarray} Q\cdot Q^T =I \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ der Einheitsmatrix der entsprechenden Ordnung entspricht. Abhängig von der Determinante spricht man auch von Drehungen oder Spiegelungen, was bei Dimenison=1 keinen Sinn macht, hier wäre nur die $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ orhogonal, was nur bei dim=1 zwangsweise dem neutralen Element der Multiplikation entspricht. Welche Definition hattest du denn gemeint?
07.08.2017, 13:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau die. Und wo genau schließt man hier aus, dass $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} 1\times 1 \end{eqnarray}$ -Matrix sein darf? Und die Loesungen von $\begin{eqnarray} x^2 = 1 \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} x = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ . Erste ist eine triviale Drehung um 0 Grad, und letzteres ist eine Spiegelung. Unabhängig davon gibt es Gegenbeispiel in jeder Dimension. Der Fall $\begin{eqnarray} n =1 \end{eqnarray}$ ist nur besonders transparent.
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07.08.2017, 14:03	TrolldiRola	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du mir ein entsprechendes Gegenbeispiel in höherer Dimesnion zeigen? (der Fall n=1 kann nicht auftreten)
07.08.2017, 14:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm dir ein Gegenbeispiel in $\begin{eqnarray} n = 1 \end{eqnarray}$ , d.h. 4 Zahlen $\begin{eqnarray} b,c,d,f \end{eqnarray}$ nimm dir eine Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb R^m \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} B=b I, D= d I, \ldots \end{eqnarray}$ ein entsprechendes Gegenbeispiel in $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -Dimensionen.
07.08.2017, 14:07	TrolldiRola	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie gesagt es gilt : $\begin{eqnarray} BB^T=DD^T \Longleftrightarrow \exists Q \end{eqnarray}$ orthogonal mit $\begin{eqnarray} BQ=D \end{eqnarray}$
07.08.2017, 14:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt von 4 Matrizen. Aussage möglich? Eine Sekunde. Heißt " $\begin{eqnarray} B,D \end{eqnarray}$ gleicher Ordnung", dass $\begin{eqnarray} B B^T = D D^T \end{eqnarray}$ gilt?
07.08.2017, 14:14	TrolldiRola	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt von 4 Matrizen. Aussage möglich? ne mit gleicher Ordnung meine ich beide sind $\begin{eqnarray} n\times k \end{eqnarray}$ als bsp. der vorherige Post zeigt dir nur welche Aussage es bereits gibt.
07.08.2017, 14:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt von 4 Matrizen. Aussage möglich? Ok. Genau das hatte ich urspruenglich gedacht. Nach dem letzten Post dachte ich nur, dass sich mehr dahinter versteckt. Dann steh ich weiterhin dazu, dass es falsch ist. Als Tipp: Nimm $\begin{eqnarray} B = \frac 1 2 I \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C = 2 I \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} BC = I \end{eqnarray}$ . Jetzt bleibt es $\begin{eqnarray} D,F \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} I = DF \end{eqnarray}$ zu finden. Wenn die Wahl nicht extrem spezifisch ist, wird es ein Gegenbeispiel sein.
07.08.2017, 14:19	TrolldiRola	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt von 4 Matrizen. Aussage möglich? Bei deinem Gegenbeispiel gibt es immer eine Matrix A, sodass $\begin{eqnarray} BA=D \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^{-1}C=F \end{eqnarray}$ nur A ist nicht normiert.... ISt natürlich tzd ein Gegenbeispiel. kann man die Aussage dann dahingehend abschwächen?
07.08.2017, 14:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt von 4 Matrizen. Aussage möglich? Also $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ muss nur noch invertierbar sein, aber nicht laenger orthogonal? Auch das ist falsch. Es reicht $\begin{eqnarray} C,D = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B,F \end{eqnarray}$ invertierbar zu waehlen.
07.08.2017, 14:27	TrolldiRola	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt von 4 Matrizen. Aussage möglich? Jop stimmt. Ist einleuchtend. In meiner Anwendung habe ich in allen Matrizen aber mindestens einen Eintrag der von 0 verschieden ist. Hast du da auch spontan ein Gegenbeispiel?
07.08.2017, 14:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt von 4 Matrizen. Aussage möglich? Invertierbare Matrizen erhalten den Rang. Also wuerde ich versuchen $\begin{eqnarray} B, D \end{eqnarray}$ mit unterschiedlichem Rang zu waehlen und dann versuchen $\begin{eqnarray} C,F \end{eqnarray}$ zu finden, so dass die Gleichheit gilt. Aber spontan weiss ich keins, nein.
07.08.2017, 14:39	TrolldiRola	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt von 4 Matrizen. Aussage möglich? Jop mit ungleicher Rang habe ich auch gerade überelgt daher folgendes: Also wenn B und D gleichen Rang haben und von gleicher Ordnugn sind, gibt es eine lineare Abbildung zwischen den linearen Hüllen der Zeilen. Angenommen A ist die darstellende Matrix, sodass $\begin{eqnarray} BA=D \end{eqnarray}$ gleiches gilt für C und F... mit angenommen darstellender Matrix H, sodass $\begin{eqnarray} CH=F \end{eqnarray}$ da könnte man evtl die Behauptung basteln oder? Zusammenfassend: Ich stelle neue Behauptung auf : Betrachte Matrizen B,D der gleichen Ordunung und C,F der gleichen Ordnung, so das das Produkt definiert ist: $\begin{eqnarray} BC=DF. \end{eqnarray}$ Sei zudem rang(B)=rang(D) und rang(C)=rang(F) Die Behauptung ist : Diese Gleichheit liegt genau dann vor, wenn es eine invertierbare matrix A gibt mit $\begin{eqnarray} BA=D, A^{-1}C=F \end{eqnarray}$ .
07.08.2017, 14:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für $\begin{eqnarray} n = 1 \end{eqnarray}$ gilt die Aussage schon einmal. Soweit, so gut Ob es allgemein gilt, weiss ich nicht. Es könnte sinnvoll sein, einen neuen Thread dafür zu eröffnen. Ich weiß nicht wie man rangehen könnte, und in den Thread mit Dutzend Antworten schaut selten jemand neues rein.
07.08.2017, 14:50	TrolldiRola	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja is ne Idee Danke auf jeden Fall für das widerlegen meiner ersten Vermutung. Ganz so einfach ist es dann wohl nicht.

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