Rechnen mit 4 Matrizen. Gleichungssystem. Invertierbare Matrix

07.08.2017, 14:52

TrolldiRola

Rechnen mit 4 Matrizen. Gleichungssystem. Invertierbare Matrix

Hallo liebe Leute,

ich sitze an folgendem Problem und würde dies gerne zeigen (oder widerlegen):

Betrachte Matrizen B,D der gleichen Ordunung und C,F der gleichen Ordnung, so das das Produkt definiert ist:

$\begin{eqnarray*} BC=DF. \end{eqnarray*}$

Sei zudem rang(B)=rang(D) und rang(C)=rang(F)

Die Behauptung ist :

Diese Gleichheit $\begin{eqnarray*} BC=DF \end{eqnarray*}$ liegt genau dann vor, wenn es eine invertierbare matrix A gibt mit
$\begin{eqnarray*} BA=D, A^{-1}C=F \end{eqnarray*}$ .

Hat jemand eine Idee?

07.08.2017, 22:52

Dustin

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Hi,
ein Beispiel als Denkanstoß:
$\begin{eqnarray*} B,C,D,F \in \mathbb R ^{2 \times 2}, B=\begin {pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end {pmatrix}, D=\begin {pmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end {pmatrix}, C=F=0 \end{eqnarray*}$

LG Dustin

08.08.2017, 09:53

TrolldiRola

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Dann wäre doch $\begin{eqnarray*} BA=D \end{eqnarray*}$ mit einer Permutationsmatrix (invertierbar) erfüllbar und $\begin{eqnarray*} A^{-1}D=F \end{eqnarray*}$ gilt für jede Matrix A.

Ist demnach kein Gegenbeispiel oder?

08.08.2017, 12:50

Dustin

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Wenn du dir da so sicher bist, dann gib doch mal eine konkrete Matrix A an Augenzwinkern

08.08.2017, 13:35

TrolldiRola

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$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erfüllt $\begin{eqnarray*} AB=D \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} CA^{-1}=F \end{eqnarray*}$
verwirrt

Also einfach umdrehen Big Laugh

(Gegenbeipsiel wäre es dann natürlich mit rollentausch deiner Matrizen)

Kann man die Aussage denn irgendwie retten? Also unter welchen Zusatzvoraussetzungen?
Alle Matrizen ungleich 0? (Das ist bei mir sowieso der Fall eigentlich, wäre also keine Einschränkung)

08.08.2017, 14:02

Dustin

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erfüllt $\begin{eqnarray*} AB=D \end{eqnarray*}$

Das mag sein, aber AB=D sollte ja gar nicht gelten, sondern BA=D Big Laugh

Also hoffe ich, du nimmst alles zurück und verneigst dich ob meines völlig korrekten und außerdem genialen, tollen, unverbesserlichen, bahnbrechenden... Gegenbeispiels Lehrer

Zitat:

Kann man die Aussage denn irgendwie retten? Also unter welchen Zusatzvoraussetzungen?
Alle Matrizen ungleich 0? (Das ist bei mir sowieso der Fall eigentlich, wäre also keine Einschränkung)

Ich kenne jedenfalls keinen "ähnlichen" mathematischen Satz...

08.08.2017, 14:19

TrolldiRola

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Das meinte ich mit einfach umdrehen Augenzwinkern

Gegenbeispiel bleibt Gegenbeispiel natürlich.

Dann versuche ich es mal zu beweisen unter Annahme alle Matrizen haben mindestens einen von 0 verschiedenen Eintrag

08.08.2017, 14:26

Dustin

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Es gab aber nichts "umzudrehen". Mein Gegenbeispiel passt haargenau zu deiner ursprünglichen Aufgabenstellung. Punkt. Big Laugh

Ich bezweifle sehr stark, dass sich das beweisen lässt, weil die Aussage sehr wahrscheinlich einfach falsch ist.

08.08.2017, 14:34

Dustin

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Gut, unter der Voraussetzung, dass C und F invertierbar sind, wäre die Behauptung korrekt (und der Beweis ziemlich einfach)...

08.08.2017, 15:02

TrolldiRola

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in dem Fall multipliziert man einfach die Inversen von F und C geschickt auf das Produkt oder?

$\begin{eqnarray*} BC=DF \Longleftrightarrow B\underbrace{(CF^{-1})}_{=A}=D \Longleftrightarrow \underbrace{(FC^{-1})}_{=A^{-1}}C=F \end{eqnarray*}$

08.08.2017, 15:09

Dustin

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Ja, genau. (Formal ist dein letzter Äquivalenzpfeil nicht korrekt, da die rechte Aussage allgemeingültig ist, die anderen beiden jedoch nicht.)

Ähnlich geht's unter der Voraussetzung, dass B und D invertierbar sind. Aber sonst...

Ich bin erstmal weg (Kino Big Laugh

)

LG

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