Eigenschaften der stochastischen Integration

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Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften der stochastischen Integration
Hallo zusammen,

Ich verstehe zwei Schritte im Beweis der folgenden Proposition nicht.

Edit: [latex]A \cdot B[/latex] bedeuted das Stochastische Integral von [latex]A[/latex] mit Integrator [latex]B[/latex] (Semimartingal)

Proposition: Fix [latex]M\in\mathcal{M}^c_{0,\text{loc}}[/latex] and [latex]H \in L^2(M)[/latex].

If [latex]G\in L^2(H\cdot M)[/latex], then [latex]GH\in L^2(M)[/latex] and we have[latex] (GH)\cdot M = G\cdot (H\cdot M)[/latex], i.e.

[latex]\int GH \mathrm{d}M = \int G \mathrm{d}\left(\int H \mathrm{d}M \right)[/latex]

Ich habe ein Fragezeichen über die Gleichheitszeichen gestellt, die ich nicht verstehe.

Proof: Using that for every [latex]N\in\mathcal{M}^c_{0,\text{loc}}[/latex] we have [latex]\langle H\cdot M,N\rangle =\int H \mathrm{d}\langle M,N\rangle[/latex] we obtain

[latex]\|GH\|^2_{L^2(M)} = \mathbb{E}\left[\int_0^\infty G_s^2 H_s^2 \mathrm{d}\langle M\rangle_s \right] [/latex][latex]\stackrel{?}{=} \mathbb{E}\left[\int_0^\infty G_s^2 \mathrm{d}\langle H\cdot M\rangle_s\right]= \|G\|^2_{L^2(H \cdot M)}[/latex]

  1. Ich verstehe diesen Schritt nicht. Weshalb können wir dieses [latex]H^2_s[/latex] in den Integrator ziehen und bekommen [latex]\mathrm{d}\langle H\cdot M\rangle_s[/latex]?


Proof continues and for any [latex]N\in\mathcal{M}^c_{0,\text{loc}}[/latex] we have

[latex]\langle(GH)\cdot M,N \rangle = \int GH \mathrm{d}\langle M,N \rangle \stackrel{?}{=} \int G \mathrm{d}\left( \int H \mathrm{d}\langle M,N \rangle\right)=\int G \mathrm{d}\langle H\cdot M,N \rangle =\langle G\cdot (H\cdot M),N \rangle[/latex]

  1. Gleiche Frage wieder, weshalb ist das möglich?
SHigh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften der stochastischen Integration
Hallo,

alles ohne Gewähr: Es gilt wohl

[latex]\langle M\rangle =\langle M,M\rangle[/latex] und somit mit der Symmetrie des Skalarprodukts und der Vorüberlegung (falls das Überhaupt ein Skalarprodukt o.Ä. sein soll)


[latex]\int_0^\infty G_s^2 H_s^2 \mathrm{d}\langle M\rangle_s = \int_0^\infty G_s^2 H_s^2 \mathrm{d}\langle M,M\rangle_s = \int_0^\infty G_s^2 H_s\mathrm{d}\langle H \cdot M,M\rangle_s = \int_0^\infty G_s^2 H_s\mathrm{d}\langle M,H \cdot M\rangle_s = \int_0^\infty G_s^2 \mathrm{d}\langle H\cdot M,H \cdot M\rangle_s = \int_0^\infty G_s^2 \mathrm{d}\langle H \cdot M\rangle_s [/latex].

Ich warte mal deinen Kommentar ab, ob das irgendwie Sinn macht, dann würde ich weiter an der zweiten Frage überlegen.

Viele Grüße
 
 
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften der stochastischen Integration
Hallo,

Das ist zwar eine Bilinearform, aber kein Skalarprodukt. Das ist der quadratische Variationsprozess bezüglich das Itô-Integral integriert wird. Ich bin auch mehr daran interessiert, weshalb dies möglich ist, also ein Beweis und keine "Rechenregeln".

Danke trotzdem!

Edit: Im übrigen habe ich keine Integrationsgrenzen. Augenzwinkern
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