[WS] Vektorrechnung

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[WS] Vektorrechnung
Inhaltsverzeichnis

  1. Vektor
  2. Lineare Abhängigkeit
  3. Geraden
  4. Ebenen
  5. Schnittprobleme
  6. Kreis und Kugel




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1. Vektoren
1. Vektoren

Definition:

Die Abbildung zeigt einen Pfeil im 2 dimensionalem Raum, der einen Vektor repräsentiert. Jeder andere Pfeil, der durch Parallelverschiebung mit diesem Pfeil ineinander übergeht, ist ein Repräsentant des gleichen Vektors.
Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleichlang, parallel und gleichorientiert sind.

Bemerkung zum Pfeil:
Ein Pfeil ist nicht an einen Ort gebunden, so wie ein Punkt, sondern die Koordinaten des Pfeiles geben an, wie weit man von einem beliebigen Punkt aus parallel zur x- bzw. y-Achse wandern muss. Z.B. muss man bei einem Pfeil 3 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach oben parallel zu den Achsen wandern. Dabei geht man von einem beliebigen Punkt aus, dort ist der Pfeilschaft, und die Stelle, die man nach dem Wandern erreicht hat, ist die Pfeilspitze.

Hier ein Repräsentant eines Vektors im 3 dimensionalem Raum:



Definition: Zwei Pfeile heißen vektorgleich, wenn sie gleichlang, parallel und gleichorientiert sind. Unter einem Vektor versteht man die Menge aller zu einem Pfeil vektorgleichen Pfeile.
Vektoren werden wie folgt dargestellt:


b1 ist dabei der x-Wert und b2 der y-Wert der Pfeilspitze. a1 und a2 sind analog dazu die Werte des Anfangpunktes. Im 3 dimensionalem Raum wären b3 und a3 die z-Werte.

Bsp.: Bilden A, B, C und D ein Parallelogramm?







Die vier Punkte bilden ein Parallelogramm, da sich aus ihnen je zwei Paar vektorgleicher
Pfeile ergibt.

-----------------
Betrag eines Vektors

Definition: Unter dem Betrag eines Vektor versteht man die Maßzahl der Länge seiner Repräsentanten. Es gilt:


Bsp.:

-----------------
Addition von Vektoren

Definition: Zwei Vektoren werden geometrisch addiert, indem man je einen Repräsentanten der zwei Vektoren so aneinanderlegt, dass der Anfang des zweiten Pfeils mit der Spitze des ersten Pfeils übereinstimmt. Ein Repräsentant des Summenvektors

reicht dann vom Anfang des ersten bis zur Spitze des zweiten Pfeils.



Es gilt:




-----------------
Subtraktion von Vektoren

Definition: Zwei Vektoren werden geometrisch subtrahiert, indem man die beiden Vektoren mit ihren Anfängen aneinanderlegt. Dann reicht ein Vertreter des Vektors
von der Spitze des zweiten Pfeils zur Spitze des ersten Pfeils.

Es gilt:

Bsp:


-----------------

Eine geschlossene Vektorkette liegt dann vor, wenn gilt:


-----------------
S-Multiplikation

Definition: Unter einer S-Multiplikation versteht man die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl. Es gilt:




-----------------
Gesetze bei der Vektorrechnung

Bei der Vektorrechnung gelten folgende Gesetze:

1) 1. Distributivgesetz :

2) 2. Distributivgesetz :

3) Kommutativgesetz :

4) Assoziativgesetz :

5) Neutralitätsgesetz :

6) Inversitätsgesetz: ;
Der Vektor heißt Gegenvektor zu . Für und gilt:
1.
2.
3.

-----------------
Parallel und gleichorientiert

Zwei Vektoren sind parallel und gleichorientiert genau dann, wenn gilt:


Bsp.: , es gilt , also und , also . Folglich gilt hier

-----------------
Skalarprodukt

Definition: Unter dem Skalarprodukt zweier Vektoren versteht man das Produkt .
Dabei bezeichnet die Größe des (nicht überstumpfen) Winkels, den zwei an einem Punkt angetragene Repräsentanten von und einschließen.
Daraus folgt:
1. Für zwei kollineare Vektoren gilt:
a) , falls und b) , falls ist.
2. Zwei Vektoren sind zueinander orthogonal genau dann, wenn ist.

Bsp.: Steht senkrecht auf ?

Es gilt . Folglich steht senkrecht auf .
-----------------
Vektorprodukt

Definition: Unter dem Vektorprodukt zweier Vektoren versteht man den Vektor . Für beliebige Vektoren ist derjenige Vektor, für den gilt:
1) ,
2)
3) bilden ein Rechtssystem.
- Gilt für zwei Vektoren die Beziehung , so sind und kollinear.
- Der Betrag von ist gleich dem Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms.
- Das Kommutativgesetz gilt nicht! Stattdessen gilt für alle

Bsp.: Bilde die Normalengleichung zu folgender Ebene:
Normalvektor:
Es ergibt sich die Gleichung:


-----------------
Volumen eines Spats

Definition: Bilden drei linear unabhängige Vektoren ein Rechtssystem, so gilt für die Inhaltsmaßzahl des von den drei Vektoren aufgespannten Spats: , wobei zyklisch vertauschbar sind!
Gilt , so bilden ein Rechtssystem;
gilt , so sind komplanar;
gilt , so bilden ein Linkssystem.

/edit: "es gilt" bei addition und subtraktion von vektoren verbessert...
 
 
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2. Lineare Abhängigkeit
2. Lineare Abhängigkeit

Definition: Vektoren heißen linear abhängig genau dann, wenn
1. es Zahlen gibt, die nicht sämtlich gleich 0 sind und für die gilt:
oder
2. ein Vektor mit Hilfe der (beiden) anderen durch Linearkombination dargestellt werden kann und so z.B. gilt:

Andernfalls heißen sie linear unabhängig.

Zusatz:
- Sind drei räumliche Vektoren (Vektoren in R3) linear abhängig, dann sind sie Komplanar, liegen also in einer Ebene. Drei ebene oder vier räumliche Vektoren sind immer linear abhängig.
- Drei räumliche Vektoren sind linear abhängig, wenn sie komplanar sind.
- Zwei ebene oder zwei räumliche Vektoren sind linear abhängig, genau dann, wenn sie parallel (kolinear) sind.


Bsp.1: Sind , , linear abhängig und somit komplanar?
Es muss z.B. gelten: ! Es ergibt sich ein Gleichungssystem, welches in Matrizenform gelöst werden soll:
. p und q in I eingesetzt ergeben nun: . Somit sind die drei Vektoren linear abhängig und auch komplanar!

Bsp.2: Sind , , linear abhängig und somit komplanar?
Es muss z.B. gelten: !
. p und q in I eingesetzt ergeben nun: . Somit sind die drei Vektoren linear abhängig und auch komplanar!
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3. Geraden
3. Geraden

Definition: Unter dem Ortsvektor zum Punkt P versteht man denjenigen Vektor , dessen Koordinaten mit den Koordinaten von P übereinstimmen. Der am Nullpunkt abgetragene Pfeil ist also ein Repräsentant des Ortsvektors .

Geraden
Definition:
Parameterdarstellung: (Punkt-Richtungsform)
Zwei-Punkteform:
Normalenform (nur in R2): , wobei ein Punkt der Geraden ist.

Richtungsvektor ist hier , wobei auch jeder Vektor Richtungsvektor ist!
Auch kann als Hinführungsvektor jeder Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden dienen!

Spurpunkt: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Grundebene.

Bsp. 1: Bestimme die Gerade, die durch geht!

Bsp. 2: Bestimme den Spurpunkt der Geraden durch mit der x-y-Ebene.

Es muss gelten: ! Also lautet der Punkt:
!

Liegt eine Gerade in der x-y-Ebene, so kann man durch Elimination von t in der Parameterform die Gerade auf die Normalform bringen. Bei Geraden im Raum ist eine solche Umformung nicht möglich!
Umgekehrt kann man mit aus der Normalenform zwei Punkte berechnen und aus diesen über die Zwei-Punkteform die Parameterdarstellung der Geraden ermitteln.

Bsp.1:







Bsp.2:
Für x=0 ergibt sich und für x=2 :


Der Abstand einer Geraden zu einem Punkt P errechnet sich mit:
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4. Ebenen
4. Ebenen

Definition: Normalenvektoren zu einem Vektor sind Vektoren für die gilt , die also senkrecht auf stehen!
Unter einem Einheitsvektor versteht man einen Vektor mit dem Betrag 1, also mit . Für jeden Vektor gibt es einen Einheitsvektor mit ; es gilt: .

Bsp.: Bilde den Einheitsvektor zum Vektor !


Ebenen
Definition:
Punkt-Richtungsgleichung:
Drei-Punkteform:
Punkt-Normalenform:
Allgemeine Normalenform: , mit . Dieses Ausmultiplizieren der Klammer mit Vektoren ist erlaubt, denn es gilt
Koordinatenform:
Hesse’sche-Normalenform: , mit
Anmerkung: Die Maßzahl c in der Hesse-Form ist der Abstand der Ebene vomNullpunkt. Das Vorzeichen legt die Seite vom Nullpunkt fest.



Bsp.:
Punkt-Richtungsform:
Berechnung des Normalenvektors:

Da das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist setzt man und erhält so: .

Punktnormalenform:
Allgemeine Normalenform:
Koordinatenform:
Hesse-Normalenform:
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5. Schnittprobleme
5. Schnittprobleme

Gerade vs. Ebene

Gerade:
Ebene:

Schnittpunkt: Normalenvektor (Ebene) und Richtungsvektor (Gerade) stehen nicht senkrecht zueinander, Skalarprodukt

Der Schnittwinkel zwischen der Gerade und ihrer senkrechten Projektion auf der Ebenen wird beschrieben durch: .

Parallel:
a)
b) sind nicht komplanar / Abstand = d
G. in Ebene:
a)
b) sind komplanar / Abstand = 0

Verfahren:
1. Ebenengleichung auf Normalenform bringen
2. Wenn gilt, dann Abstandsberechnung:
(identisch oder Abstand?)
3. Geradengleichung in Ebenennormalenform einsetzen


Bsp. 1:
Normalenvektor von Ebene:
Es gilt . Folglich müssen die Gerade und die Ebene einen Schnittpunkt haben. Durch Einsetzen ergibt sich:


t in die Geradengleichung eingesetzt ergibt folgenden Schnittpunkt:



Die Ebene und die Gerade schneiden sich unter:



Bsp. 2:
Normalenvektor von Ebene:
Es gilt (alle Richtungsvektoren sind komplanar). Folglich müssen die Gerade und die Ebene entweder ineinander verlaufen oder parallel sein. Durch Einsetzen ergibt sich:

Die Gerade kann also nur parallel zur Ebene verlaufen. Nun soll der Abstand bestimmt werden:


Bsp. 3:
Normalenvektor von Ebene:
Es gilt (alle Richtungsvektoren sind komplanar). Folglich müssen die Gerade und die Ebene entweder ineinander verlaufen oder parallel sein. Durch Einsetzen ergibt sich:

Die Gerade verläuft folglich in der Ebene.


Gerade vs. Gerade

Gerade 1:
Gerade 2:

Schnittpunkt:
a) Richtungsvektoren sind nicht kollinear
b) sind komplanar
Der kleinste Schnittwinkel der Geraden ergibt sich aus:
bzw. (nur in R2)

Das kommt daher, dass der Winkel gleich bleibt, wenn man die Normalvektoren verwendet, weil diese ja beide die um 90° gedrehten Richtungsvektoren darstellen.

Windschief:
a) Richtungsvektoren sind nicht kollinear
b) sind nicht komplanar

Identisch:
a) Richtungsvektoren sind kollinear
b) sind kollinear

Parallel:
a) Richtungsvektoren sind kollinear
b) sind nicht kollinear


Verfahren:
1. Richtungsvektoren vergleichen:
Normalerweise kann man mit dem Auge erkennen, ob die Vektoren kollinear sind oder nicht, aber man kann mit Hilfe von rechnerisch überprüfen, ob die Richtungsvektoren kollinear sind.

Fall sie kollinear sind, kann man noch mit prüfen, ob die Geraden identisch sind oder parallel.
Abstand ggf. mit berechnen.

Falls : Gleichsetzen, Schnittwinkel bzw. Abstand berechnen mit:


Bsp. 1:

Die Richtungsvektoren sind offensichtlich nicht kollinear, folglich müssen sich die Geraden schneiden oder windschief sein. Die Gleichungen sind nun gleichzusetzen:



Die Geraden haben also folgenden Schnittpunkt:

, Probe:

Beide Geraden schneiden sich unter

Bsp. 2:

Die Richtungsvektoren sind offensichtlich nicht kollinear, folglich müssen sich die Geraden schneiden oder windschief sein. Die Gleichungen sind nun gleichzusetzen:



Folglich müssen die Geraden windschief sein. Der Abstand beträgt:



Bsp. 3:
Die Richtungsvektoren sind offensichtlich kollinear, denn es gilt: . Folglich müssen die Geraden identisch oder parallel sein. Da gilt:
. Also da kollinear sind, müssen beide Geraden identisch sein.
Probe: der Abstand beider Geraden beträgt:



Bsp. 4:
Die Richtungsvektoren sind offensichtlich kollinear, denn es gilt: . Folglich müssen die Geraden identisch oder parallel sein. Da gilt

müssen komplanar sein und somit die Geraden parallel sein. Sie haben den Abstand:


Ebene vs. Ebene

Ebene 1:
Ebene 2:

Parallel: und sind komplanar (bzw. beide Normalenvektoren sind kollinear) und sind nicht komplanar. sind Lagevektoren der anderen Ebene.
Der Abstand berechnet sich durch: , was ja der Hesse'schen Abstandsformel entspricht.

Identisch: und sind komplanar (bzw. beide Normalenvektoren sind kollinear) und sind komplanar.

Schnittgerade: obiges trifft nicht zu
Der kleinste Winkel zwischen den Ebenen ist festgelegt durch:



Das rührt daher, dass der Winkel zw. den Normalvektoren dem Winkel zw. den Ebenen entspricht, weil ja die Vektoren beide um 90° gedreht sind.

Verfahren:
1. Beide Gleichungen in allgemeine Normalenform bringen
2. Die andere Gleichung hier einsetzen und nach einem der beiden Parameter auflösen. Parametergleichnis in die Gleichung der eingesetzten Ebene einsetzen um Schnittgerade zu erhalten.
3. Eventuell Abstand bestimmen mittels Hesse'scher Abstandsformel bestimmen. Man kann auch Abstände der Ebenen zum Ursprung bestimmen mit Hesseform. Beträge je nach Vorzeichen addieren.

Bsp. 1:





Es gilt für die Normalenvektoren der beiden Gleichungen:
.

Also können die Ebenen nur parallel oder identisch sein. Um dies zu klären soll nun der Abstand beider Ebenen zum Ursprung und somit zueinander bestimmt werden:



Somit sind beide Ebenen parallel .

Bsp. 2:





Es gilt für die Normalenvektoren der beiden Gleichungen:

. Also können die Ebenen nur parallel oder identisch sein. Um dies zu klären soll nun der Abstand beider Ebenen zum Ursprung und somit zueinander bestimmt werden:



Es existiert kein Abstand zwischen den Ebenen, weswegen sie identisch sein müssen!

Bsp. 3:





Es gilt für die Normalenvektoren der beiden Gleichungen:

. Also können die Ebenen sich nur in einer Geraden schneiden.

Da der Richtungsvektor der Schnittgeraden in beiden Ebenen und somit senkrecht zu beiden Normalenvektoren stehen muss, ist der gesuchte Richtungsvektor schon durch

gegeben. Der benötigte Hinführungs- bzw. Ortsvektor ergibt sich aus den Koordinatendarstellungen beider Gleichungen:

.

Somit lautet die Schnittgerade

.
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6. Kreis & Kugel
6. Kreis & Kugel

Definition: Ein Punkt P mit dem Ortsvektor liegt genau dann auf dem Kreis bzw. auf der Kugel K(M;r), wenn gilt:



Diese Gleichung heißt Kreisgleichung bzw. Kugelgleichung. Ist M der Nullpunkt des Koordinatensystems, so lautet die Gleichung:


Eine quadratische Gleichung der Form ist genau dann eine Kreis – bzw. Kugelgleichung, wenn ist. Mittelpunkt M und Radius r sind dann bestimmt durch:

und


Schnittprobleme

Gerade und Ebene vs. Kreis / Kugel

Mögliche Schnitte: Tangente, Sekante, Passante.


Verfahren: Gerade in die Kugelgleichung einsetzen und nach Parameter auflösen. Es können sich je nach Geradenlage null, ein oder zwei Werte für den Parameter ergeben.


Bsp.: Die Gerade schneidet die Kugel mit und r= 7. Ist sie eine Sekante, Tangente oder Passante?

Die Gleichung der Kugel lautet:



Wird die Geradengleichung eingesetzt, so ergibt sich folgende Gleichung:



Das t in die Geradengleichung eingesetzt liefert 2 Schnittpunkte:



Definition: Die Gleichung einer Tangenten / Tangentialebene an einen Kreis / eine Kugel im Punkte T mit dem Ortsvektor ist:



Den Berührpunkt bzw. den Mittelpunkt eines möglichen Schnittkreises erhält man durch:


Wobei d dem Abstand der Ebene vom Mittelpunkt der Kugel darstellt, welchen man mit dem Projektionsverfahren errechnet. Für den Radius eines Schnittkreises gilt:
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