Komplexe trigonometrische Funktionen

09.08.2017, 14:37

Mathema

Komplexe trigonometrische Funktionen

Hallo,

so - ich bin ein wenig angefangen mich mit den komplexen trigonometrischen Funktionen zu beschäftigen und habe erst mal eine grundsätzliche Frage. Ich bin mal ehrlich zu mir selbst, so viele Gleichungen wie ich auf den letzten Seiten gelesen habe kann ich mir ja kaum merken. Als Beispiel:

Aufgabe ist es in die Form $\begin{eqnarray*} a+bi \end{eqnarray*}$ umzuwandeln:

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Da bin ich dann bei 1) erstmal mit der Definition gekommen, habe eingesetzt mit Euler umgewandelt und vereinfacht bis ich dann endlich mal in den TR was eintippen konnte. Als Beispiel für den Realteil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sin(2)(e^{-3}+e^3) \end{eqnarray*}$ . Dann habe ich gesehen, viel schneller geht es mit

$\begin{eqnarray*} \sin(z)=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y) \end{eqnarray*}$

- da tippe ich direkt ein und bin fertig. Bei der 7) ergibt sich $\begin{eqnarray*} \cos(2i\arg(2i))=\cos\left(2i\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\right)=\cos\left(i\left(\pi+4k\pi\right)\right) \end{eqnarray*}$

Und da habe dann gelesen $\begin{eqnarray*} \cos(i\theta)=\cosh(\theta) \end{eqnarray*}$ . Ok - das kann ich mir schnell basteln aus $\begin{eqnarray*} \cos(z)=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y) \end{eqnarray*}$ , wenn ich das dann im Kopf habe. Klar könnte ich das wieder aus der Definition herleiten - nur möchte ich ja nicht immer 1000 Umformungen machen um wir irgendwelche Gleichungen zu basteln. Das nächste Kapitel sind dann die hyperbolischen Funktionen, da stehen dann auch noch neben der Definition viele weitere lustige Identitäten.

Also jetzt frage ich mal ganz blöd: Reicht es denn aus, wenn man nur die reine Definition im Kopf hat? Oder was sollte man noch gerne wissen?

09.08.2017, 14:45

IfindU

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RE: komplexe trigonometrische Funktionen
Wenn du die reellen Additionstheoreme kennst wie
$\begin{eqnarray*} \sin (x+y) = \sin (x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y) \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich dann
$\begin{eqnarray*} \sin(x+iy) = \sin(x) \cos(iy) + \cos(x) \sin(iy) = \sin(x) \cosh(y) + i\cos(x) \sinh(y) \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} \cos(\theta) = \frac { e^{i\theta} + e^{-i\theta} } 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cosh(\theta) = \frac { e^{\theta} + e^{-\theta}} 2 \end{eqnarray*}$ . So werden die gerne definiert, und die sollte man sicher im Kopf haben!

Dann sollte leicht zu sehen sein, dass $\begin{eqnarray*} \cos(i\theta) = \cosh(\theta) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cosh(i\theta) = \cos(\theta) \end{eqnarray*}$ .
Analog geht es beim Sinus, bloss dort muss man immer ein wenig mit dem Vorzeichen aufpassen.

Ansonsten wie immer: Wenn man zufaellig vor einem aehnlichen Problem steht, reicht es zu wissen, dass es elegante Formeln dafuer gibt. Dann googlet man die exakte Form Augenzwinkern

09.08.2017, 15:01

Mathema

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Hallo IfindU,

danke, das beruhigt mich doch erstmal. smile

Und ja - die reellen Additionstheoreme kenne ich natürlich, gut zu Wissen, daß ich da auch noch was mit ins Komplexe übertragen kann.
Gut - dann werde ich mal etwas weiter rechnen, mal gucken ob noch irgendwo Stolpersteine liegen. Die Rechnungen waren bis jetzt ja an sich kein Problem (sofern man eben die passende Formel parat hat).

09.08.2017, 15:09

IfindU

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Wenn du in die Beweise fuer die Additionstheoreme schaust, benutzt man entweder Rechenregeln der Exponentialfunktion oder man rechnet direkt mit den Potenzreihen und benutzt das Cauchy-Produkt.

Beides funktioniert 1:1 auch im Komplexen, daher gelten die Additionstheoreme weiterhin. Vermutlich gelten die sogar fuer alle kommutierenden, quadratischen Matrizen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ bei analogen Definitionen aller Funktionen im Raum der Matrizen.

09.08.2017, 15:27

Dopap

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auf meinem Taschenrechner Hp 50 kann man obige Terme direkt eingeben und erhält die Ergebnisse je nach Wunsch kartesisch oder polar. Augenzwinkern

10.08.2017, 09:43

Mathema

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Hallo IfindU,

habe gestern noch ein wenig weitergerechnet:

[attach]45055[/attach]

Also die 16 habe ich nicht gemacht (da beziehe ich mich nur mal drauf), da im Buch der Autor das für die Gleichung $\begin{eqnarray*} \cos(z)=0 \end{eqnarray*}$ vorgerechnet hat und das ist ja nun nicht wirklich anders. Also zur 17:

Also im reellen würde ich ja nun bei einer solchen Gleichung den Tangens ins Spiel bringen. Aber das bringt mir im komplexen ja überhaupt nichts, oder doch? Es scheint ja irgendwie auch keine inverse Arkusfunktion zu geben (oder das kommt noch)? Also sah meine Lösung nun so aus:

$\begin{eqnarray*} \sin(z)-\cos(z)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)-\cos(x)\cosh(y)+i\sin(x)\sinh(y)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cosh(y)(\sin(x)-\cos(x))+i\sinh(y)(\cos(x)+\sin(x))=0+0i \end{eqnarray*}$

Und dann habe ich Realteil und Imaginärteil verglichen:

Da $\begin{eqnarray*} \cosh(y)\neq0 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \sin(x)-\cos(x)=0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \end{eqnarray*}$ . Dafür wird der zweite Faktor im Imaginärteil aber nicht Null, also muss gelten $\begin{eqnarray*} \sinh(y)=0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ . Ok - sieht mir ziemlich umständlich aus. Oder ist das dann der normale Weg?

Dann die nächsten Aufgaben:

Das sind ja alles analytische Funktionen, also muss ich ja nur bei jeder Aufgabe die Nullstellen des Nenners finden. Richtig?

18: Da wurde mir wie gesagt schon die Nullstellen der Cosinusfunktion geschenkt.

19: Also diese Aufgabe hat mir einiges an Lebenszeit gekostet. Ich bin da nämlich mit der Definition angefangen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos(iz)}=\frac{2}{e^{-z}+e^z} \end{eqnarray*}$

Und damit dachte ich die Funktion wäre auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ analytisch. Das steht in den Lösungen anders. Ok - mit Substitution kam ich dann schnell auf die Lösungen, aber es hat mich doch einiges an Zeit gekostet, bis ich verstanden habe, wo nun das Problem ist. Die Lösungen sind ja rein imaginär, also das Argument schließlich reell - und da funktioniert ja denn die Definition anscheinend nicht. Dennoch steht mein Term bei Wolfram als "Alternate Form". Im reellen spricht man ja von einer hebbaren Lücke. Ist das hier auch sowas?

20: Da nehme ich dann das Nullprodukt. Also:

$\begin{eqnarray*} \sin(z)=0 \end{eqnarray*}$ , da stehen die Lösungen ja bei Aufgabe 16. Ich schreibe allerdings immer $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ für eine ganze Zahl, finde seine Notation da ein wenig komisch.

$\begin{eqnarray*} \sin((1+i)z)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+i)z=\pi k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{2}\pi k-\frac{i}{2} \end{eqnarray*}$

21: Habe ich noch nicht gemacht, da wollte ich erstmal abwarten was du zu 17 sagst.

10.08.2017, 11:01

IfindU

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Zu 17) sehe ich auch nicht wirklich etwas anderes. Irgendwie muss man benutzen, dass Real- und Imaginärteil verschwinden. Ein netter Trick ist gelegentlich Beträge zu nehmen, und zu gucken, wann diese verschwinden, aber hier macht es die Sache eher komplizierter.

Zitat:

Das sind ja alles analytische Funktionen, also muss ich ja nur bei jeder Aufgabe die Nullstellen des Nenners finden. Richtig?

Die Nenner sind analytische Funktionen! So präzise sollte man noch sein. Aber das stimmt ja.

Zu 18) Natürlich kannst du es mit der Definition der Exponentialfunktion machen. Du darfst aber nicht den Fehler machen zu glauben, dass $\begin{eqnarray*} e^z > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ! Das mag für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gelten, aber nicht für die komplexen Zahlen. Daher kannst du auch nicht folgern, dass $\begin{eqnarray*} e^z + e^{-z} \end{eqnarray*}$ keine Nullstellen besitzt.

Und ja, das wäre eine hebbare Definitionslücke. Man geht hier wohl nicht näher auf das Thema ein, weil das noch eine gewaltig-große Rolle spielen wird. Aber das wirst du noch sehen Augenzwinkern

Der Rest sieht gut aus.

10.08.2017, 12:03

Mathema

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Zitat:

Die Nenner sind analytische Funktionen! So präzise sollte man noch sein.

Die Zähler doch auch. Es reicht doch nicht aus, dass nur die Funktion im Nenner analytisch ist?! Also das alle bezog sich bei mir auf Zähler und Nenner eigentlich um dann wieder zu nutzen:

"The quotient of these functions is analytic in the domain except where the denominator equals zero."

Zitat:

Du darfst aber nicht den Fehler machen zu glauben, dass $\begin{eqnarray*} e^z > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ !

Also ich hatte schon noch den Nenner =0 gesetzt:

$\begin{eqnarray*} e^{-z}+e^z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2z}=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2x}\left(\cos(2y)+i\sin(2y)\right)=-1+0i \end{eqnarray*}$

Und somit $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ , aber dann müsste ja $\begin{eqnarray*} e^{2x}=-1 \end{eqnarray*}$ sein und das funktioniert ja nun nicht.

10.08.2017, 12:06

IfindU

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Entschuldige. Da war ich auch unpräzise. Der Zähler UND Nenner sind analytische Funktionen. Bei dir klang es so, als ob der Quotient analytisch wäre.

Zum zweiten: Und was ist mit $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

10.08.2017, 12:42

Mathema

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Kein Problem - ich habe ja angefangen unpräzise zu sein...

Oh Gott - wie konnte ich das denn übersehen gestern. geschockt

Da hab ich wohl nicht gemerkt, dass ich wieder im Reellen bin. Selten dämlich von mir.

Zitat:

Und ja, das wäre eine hebbare Definitionslücke.

Ok - dann erhalte ich ja die gleichen Lösungen. Daher hier der Konjunktiv. Hier ist ja dann nichts hebbar. Habe ich das nun richtig verstanden?

10.08.2017, 12:53

IfindU

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Da habe ich einfach nur Wörter durcheinander gebracht. Es gibt drei Arten von Singularitäten, die im Komplexen von Bedeutung sind:
-Die hebbaren, die nur so aussehen, als ob es Probleme sind.
-Die wesentlichen Singularitäten. Die absoluten Katastrophen. In deren Nähe spielen Funktionen einfach nur verrückt.
-Und die Polstellen (die meinte ich eigentlich.)

So gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to \frac \pi 2} (z - \frac \pi 2) \frac 1 {\cos(z)} = -1 \end{eqnarray*}$ , wenn ich mich nicht gerade vertue. In dem Fall ist die Singularitäten also nicht schlimmer als von der Form $\begin{eqnarray*} \frac 1 { (z - \frac \pi 2)^n} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine wesentliche Singularität in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ hat, bedeutet es, dass $\begin{eqnarray*} |(z - z_0)^n f(z)| \end{eqnarray*}$ immer divergiert, egal wie gross man das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ waehlt. Verrückt heißt in dem Kontext, dass der Satz von Picard gilt Wiki.

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