Injektiv zeigen

09.08.2017, 20:41

Maha

Injektiv zeigen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich soll Beweisen oder widerlegen das $\begin{eqnarray*} f: R_{0}^{+} -> R_{0}^{+} , x-> x^2 \end{eqnarray*}$ Injektiv ist.

Meine Ideen:
Ich habe einfach die Definition dazu genommen also :

$\begin{eqnarray*} \forall x_{1}, x_{2} \in R_{0}^{+} gilt : x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}) \end{eqnarray*}$

und ich habe die Definition negiert also :

$\begin{eqnarray*} \exists x_{1}, x_{2} \in R_{0}^{+} gilt : x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) = f(x_{2}) \end{eqnarray*}$

Ich will nun zeigen das die Negation nicht gilt und daraus Folgern das f Injektiv sein muss.

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} x_{1} \neq x_{2} \end{eqnarray*}$ und Angenommen es ist $\begin{eqnarray*} f( x_{1}) = f(x_{2}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1}^{2} = x_{2}^2 bzw x_{1} = x_{2} \end{eqnarray*}$ Dies ist aber ein wiederspruch zur vorr.

Somit ist f Injektiv stimmt das ?

09.08.2017, 21:07

Helferlein

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RE: Injektiv zeigen
Der entscheidenden Frage weichst Du aus:
Wieso folgt aus $\begin{eqnarray*} x_{1}^{2} = x_{2}^2 \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ ?
Im Allgemeinen ist das ja nicht der Fall.

09.08.2017, 21:50

Maha

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RE: Injektiv zeigen
Wenn ich auf beiden seiten die wurzel ziehe dann kommt doch x1= x2 oder nicht ?

09.08.2017, 22:14

Helferlein

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Also ist $\begin{eqnarray*} (-1)^2 \neq 1^2 \end{eqnarray*}$ ?
Die Wurzelfunktion kannst Du hier nicht benutzen, weil sie gerade die Umkehrung des Quadrats ist und das setzt die zu zeigende Injektivität voraus.

09.08.2017, 22:15

klarsoweit

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RE: Injektiv zeigen

Zitat:

Original von Maha
und ich habe die Definition negiert also :

$\begin{eqnarray*} \exists x_{1}, x_{2} \in R_{0}^{+} gilt : x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) = f(x_{2}) \end{eqnarray*}$

Das ist nicht die Negation, sondern:

$\begin{eqnarray*} \exists x_1, x_2 \in R_{0}^{+} \text{ fuer die gilt: } x_1 \neq x_2 \land f(x_1) = f(x_2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Maha
Ich habe einfach die Definition dazu genommen also :

$\begin{eqnarray*} \forall x_{1}, x_{2} \in R_{0}^{+} gilt : x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}) \end{eqnarray*}$

Ich würde eher diese alternative Version nehmen:

$\begin{eqnarray*} \forall x_1, x_2 \in R_{0}^{+} gilt: f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

Sei also $\begin{eqnarray*} x_1^2 = x_2^2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist also $\begin{eqnarray*} (x_1 + x_2) \cdot (x_1 - x_2 ) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt führe diesen Ansatz fort. Was kannst du über die einzelnen Faktoren sagen?

@Helferlein: bedenke, daß wir hier im $\begin{eqnarray*} \mathbb R_0^+ \end{eqnarray*}$ sind.

09.08.2017, 22:23

Maha

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RE: Injektiv zeigen
Hallo Klarsoweit ,

Ich würde gerne den Beweis so führen wie ich angefangen habe bzw meine Idee durchsetzen können wenn du mir dabei helfen würdest wäre das sehr nett wenn nicht ist das auch ok.

Ich verstehe nicht warum die Idee von mir so schlecht ist verwirrt

Ein widerspruchsbeweis wäre doch hier passend...

09.08.2017, 22:35

Maha

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RE: Injektiv zeigen
Zu der Negation :

Ok dann x1 ungleich x2 und Angenommen es sei f(x1) = f(x2)

... und dann weiter wie ich schon oben schrieb

09.08.2017, 22:44

Helferlein

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@klarsoweit: Das ist mir durchaus bewußt, aber darauf geht Maha nirgends ein.

@Maha: Das Problem mit der Wurzel habe ich oben angesprochen. klarsoweit hat Dir den Weg gezeigt, auf dem Du ohne Wurzel auskommst. Du musst nur noch seinen Weg mit deiner Idee verbinden.

09.08.2017, 23:05

Maha

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Achso wir können das gar nicht benutzen weil das ist ja die umkehrfunktion und wenn die Umkehrfunktion existiert
Ist die Funktion ja Bijektiv also Injektiv und Surjektiv ich verstehe jetzt Freude

Wenn x1^2 = x2^2 ist dann ist

X1^2 -x2^2 = 0 also

(x1-x2)^2 = 0

Und das ist genau dann 0 wenn x1=x2 ist so?

09.08.2017, 23:55

Helferlein

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Nur mal zum Nachdenken: $\begin{eqnarray*} x_1^2-x_2^2 \neq (x_1-x_2)^2 \end{eqnarray*}$
Schau Dir an, was klarsoweit oben geschrieben hatte und denk mal an die binomischen Formeln.

10.08.2017, 01:25

Maha

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Ohman sorry unglücklich

Also (x1+x2) * (x1-x2) = 0

Da wir nur Nicht negative Zahken einsetzen können ist die Gleichung nur erfüllt wenn
X1= x2 ist.
Reicht die Argumentation?

10.08.2017, 08:43

klarsoweit

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Nun ja, besser ist in meinen Augen die Argumentation, daß ein Produkt nur dann Null ist, wenn wenigstens einer der Faktoren Null ist. Du mußt also beide Faktoren daraufhin untersuchen.

10.08.2017, 17:20

Maha

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Der erste Faktor wird null wenn x1=x2= 0 ist
Und der zweite wenn x1=x2 ist ??

10.08.2017, 17:34

klarsoweit

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Korrekt. Jetzt noch alles zusammenstöpseln und es wird ein Schuh draus. smile

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