Auf Untervektorraum untersuchen.

09.08.2017, 20:52

Knightfire1

Auf Untervektorraum untersuchen.

Meine Frage:
Hallo,
ich habe die folgende Aufgabe zu lösen...
[attach]45052[/attach]
mfg. Danke im Vorraus

Meine Ideen:
Naja es gibt ja 3 Bedingungen, erst darf sie keine leere Menge sein, dann müssen Vektoraddition und Skalare Multiplikation erfüllt sein... nur wie geht das aber?

09.08.2017, 21:41

Helferlein

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Hast Du schon einmal Unterräume nachgewiesen? Wenn ja, dann mach es hier einfach so, wie Du es immer machen würdest.

Gibt es eine Folge, deren absolut-Glieder addiert einen endlichen Wert haben?
Ist die Summe zweier solcher Folgen wieder in der Menge enthalten, erfüllt sie also die Summenbedingung?
Wie sieht es mit dem Vielfachen solch einer Folge aus? Erfüllt deren Summe auch die Bedingung?

10.08.2017, 12:56

Knightfire66

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ok dann mal eine frage... liegt grad ein unterraum vor oder nicht? also damt ich weiß ob ichs richtig hab?

10.08.2017, 13:02

Knightfire66

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Also was ich habe bis jetzt:

$\begin{eqnarray*} \sum _{ n=1 }^{ \infty }{|{ a }_{n} }| <\infty \end{eqnarray*}$
an sei Element F3, an = 0
$\begin{eqnarray*} \sum _{ n=1 }^{ \infty }{|{0}|} <\infty \end{eqnarray*}$
an und bn Element F3 an + bn = cn

$\begin{eqnarray*} \sum _{ n=1 }^{ \infty }{|{ c }_{n} }| <\infty \end{eqnarray*}$
auch erfüllt

an * bn = cn Element F3

$\begin{eqnarray*} \sum _{ n=1 }^{ \infty }{|{ c }_{n} }| <\infty \end{eqnarray*}$

auch erfüllt...

haben wir also hier mit einem Unterraum zutun? wenn ja was muss ich jetzt für die zweite Teilaufgabe machen? also Inverses und Neutrales Element bestimmen?

10.08.2017, 13:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von Knightfire66
an * bn = cn Element F3

$\begin{eqnarray*} \sum _{ n=1 }^{ \infty }{|{ c }_{n} }| <\infty \end{eqnarray*}$

Das ist keine Bedingung an den Unterraum. Schau nochmal genau hin.

Zitat:

Original von Knightfire66
haben wir also hier mit einem Unterraum zutun?

Ja.

Zitat:

Original von Knightfire66
also Inverses und Neutrales Element bestimmen?

Neutrales Element ist ja wohl kein Problem. Du hast es ja selbst schon angegeben. Augenzwinkern

Auch das inverse Element sollte kein ernsthaftes Problem sein.

10.08.2017, 13:39

Knightfire66

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ok im Grunde haben wir hier ja fast keine Bedingungen... wir müssen nur ein a_n Element F3 bestimmen n aus Natürlichen Zahlen und fertig?
da wir hier keine Leere Menge haben ist es dann automatisch ein UR von F???

also:
$\begin{eqnarray*} { a }_{ n }=0\quad \epsilon \quad F3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum _{ n=1 }^{ \infty } |0|\quad <\quad \infty \end{eqnarray*}$
-> F3 ist keine Leere Menge

und
a_n und b_n Element F3

$\begin{eqnarray*} { c }_{ n }={ a }_{ n }+{ b }_{ n }\quad \epsilon \quad F3 \end{eqnarray*}$

-> F3 ist ein UR

Neutrales Element:
a_n sei 1 Element F3

a_n^-1= -1
a_n+a_n^-1 = 0
0 -> Neutrales Element (Es gibt doch nur 1 und 0 zur Verfügung oder? (hier in diesem Fall)

Inverses? verstehe ich immernoch nicht?

10.08.2017, 13:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Knightfire66
Neutrales Element:
a_n sei 1 Element F3

Was soll mir das sagen? verwirrt

Wie soll die Folge (a_n) aussehen?

Zitat:

Original von Knightfire66
0 -> Neutrales Element (Es gibt doch nur 1 und 0 zur Verfügung oder?

Auch hier weiß ich nicht, was du sagen willst. Was meinst du mit "nur 1 und 0 zur Verfügung"?

Was noch fehlt, ist der Nachweis der Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation. Bei der Addition hast du es zwar als "erfüllt" abgehakt, die Begründung ist aber etwas knapp ausgefallen.

10.08.2017, 14:13

Knightfire66

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Zitat:

Neutrales Element:
a_n sei 1 Element F3

naja das soll einfach heißen, dass an = 1 ist...

aber mehr weiß ich auch nicht... wie geht die Aufgabe jetzt kannst du mir mal n tipp geben?

10.08.2017, 14:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Knightfire66
naja das soll einfach heißen, dass an = 1 ist...

Du meinst also die Folge (a_n) ist (1, 1, 1, ...) ? Und diese Folge ist ein Element von F3 ? Und inwiefern sollte diese Folge ein neutrales Element sein? Ist also b_n + a_n tatsächlich gleich der Folge b_n ?

10.08.2017, 14:30

Knightfire66

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nein ich schnapp mir doch ein element aus der folge raus... a ist die folge und a_n soll 1 sein... damit ich rechnen kann... denn a_n+1 wäre dann z.B. 2

und b_n soll auch z.B. 1 sein und a_n+b_n sollte = c_n und c_n soll ja ein element aus F sein? oder nicht?

10.08.2017, 14:33

Knightfire66

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ich hab echt da sgefühl ich verschwende sinnlos zeit auf diesem Forum... verwirrt

10.08.2017, 14:42

klarsoweit

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Entschuldigung, es geht im Moment darum, daß du anscheinend noch nicht verstanden hast, wie die Menge F und erst recht wie der Unterrraum F3 aussehen. Das merke ich aber erst jetzt aufgrund deiner "komischen" Antworten.

Es geht hier um Folgen, die die Menge F bilden und die mittels der Addition und der skalaren Multiplikation einen Vektorraum bilden. Dabei sieht die Addition so aus, daß man aus zwei Folgen (a_n) und (b_n) eine Folge (c_n) bildet, indem man die Folgen (a_n) und (b_n) gliedweise addiert: c_n = a_n + b_n

Jetzt überlege mal, wie das neutrale Element aussieht. Das muß ja eine Folge sein, die bei Addition zu der Folge (b_n) diese nicht verändert: Also in etwa dies:

(?, ?, ?, ....) + (b_1, b_2, b_3, ...) = (b_1, b_2, b_3, ...)

Jetzt überlege, womit diese Fragezeichen zu füllen sind.

10.08.2017, 14:49

Knightfire66

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schau mein problem ist nicht dass ich UR zum ersten mal untersuche.. ich kann so einfache sachen wie
[attach]45058[/attach]

untersuchen...

y = 0^2 = 0 -> U1 != 0
x = 1 und y =1
1=1² -> 1 =1 -> erfüllt
ABER
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 2 und
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *y = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *x²
2=2²
2!=4 ->X
d.h. U1 ist kein Untervektorraum von R²

aber in diesem fall hab ich einfach schwierigkeiten mit dem Summenzeichen und dem < unendlich...

10.08.2017, 14:58

Knightfire66

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Also das neutrale Element muss auch eine Folge sein?

bei der Vektoraddition muss es 0 sein... bei der Skalaren Multiplikation wäre es ne 1 aber hier muss es 0 sein... aber eine Folge aus nur Nullen gibts es nicht... die Folge hat dann nur ein Element nämlich die null?

und eine weitere Frage... kann man also was ich alles davor gemacht habe gelten lassen als Untersuchung? Wir suchen ja jetzt das neutrale Element... oder hast du einen besseren Vorschlag als Lösungsweg?

10.08.2017, 14:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von Knightfire66
aber in diesem fall hab ich einfach schwierigkeiten mit dem Summenzeichen und dem < unendlich...

Das betrifft aber erst den Unterraum F3. Bleiben wir erst mal im Vektorraum F und bei der Frage, wie das neutrale Element aussieht. Wie man zwei Folgen addiert, sollte hoffentlich klar sein. Wenn nicht, löse diese Aufgabe:

Seien (a_n) die Folge (1, 3, 5, ...) und (b_n) die Folge (2, 4, 6, ...) .
Bilde nun die Summenfolge (c_n) = (a_n) + (b_n) .

10.08.2017, 15:08

Knightfire66

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Aso nachdem ich alles nochmal gelesen habe ist mir aufgefallen ich brauche noch die skalare Multiplikation , um die Abgeschlossenheit zu zeigen (und noch inverses bestimmen):

also die Abgeschlossenheit:

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sei Element aus R
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 2;

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *a_n= c_n

$\begin{eqnarray*} \sum _{ n=1 }^{ \infty } {|c}_{n}|\quad <\quad \infty \end{eqnarray*}$ -> wahr

Also ist F3 ein UR von F?

wenn ja, wie geht die Inverse mit Folgen?

ist das gleich? also a_n^-1 ist dann unsere Inverse? Aber was ist mit dem Betrag?

$\begin{eqnarray*} \sum _{ n=1 }^{ \infty } {|a}_{n}^{-1}|\quad <\quad \infty \end{eqnarray*}$

10.08.2017, 15:09

Knightfire66

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Zitat:

Bilde nun die Summenfolge (c_n) = (a_n) + (b_n) .

c_n= {3,7,11}

10.08.2017, 15:13

Knightfire66

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du hast mich echt verwirrt... alsooo

1,2,3 ... könnte auch die lösung sein baer das wäre die vereiningung oder?

10.08.2017, 15:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Knightfire66

Zitat:

Bilde nun die Summenfolge (c_n) = (a_n) + (b_n) .

c_n= {1,2,3,4,5,6}

Leider nicht. Die Folge (c_n) wird so gebildet: $\begin{eqnarray*} (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, ...) \end{eqnarray*}$

Jetzt wird hoffentlich auch klarer, wie das neutrale (bzw. inverse) Element aussieht.

Zitat:

Original von Knightfire66
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sei Element aus R
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 2;

Warum nur lambda = 2 ? Du mußt schon alle reellen Zahlen für lambda betrachten. Aber im Moment geht es vordringlich um das Verständnis, wie die Menge F aussieht und wie da Addition und skalare Multiplikation funktionieren.

EDIT: ich sehe gerade:

Zitat:

Original von Knightfire66

Zitat:

Bilde nun die Summenfolge (c_n) = (a_n) + (b_n) .

c_n= {3,7,11}

OK, das ist fast richtig. Richtig ist (c_n) = (3, 7, 11, ...) . Jetzt brauchen wir das neutrale Element.

10.08.2017, 15:20

Knightfire66

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Zitat:

EDIT: ich sehe gerade:

jo ich hab dann gleich gemerkt, dass das falsch ist und habs gleich wieder korrigiert.. .

Also...

das neutrale Element sollte dann so aussehen: {0,0,0,...}... ? verwirrt

Also eine konstante Folge die nur Nullen beinhaltet?

10.08.2017, 15:32

klarsoweit

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OK, das ist richtig. Aber bitte runde Klammern verwenden. Die geschweiften Klammern kennzeichnen Mengen.
Nun wagen wir den Schritt und bilden das inverse Element zu der Folge (a_n) = (a_1, a_2, a_3, ...) . smile

10.08.2017, 16:05

Knightfire66

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Also wegen Inverses:

im Grunde muss ich ja <_n^-1 machen... aber wie soll ich das nun hier mit dem Summenzeichen und den Betragstrichen kombinieren?

10.08.2017, 17:10

klarsoweit

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Langsam. Du bist schon wieder im F3 und läufst obendrein gedanklich in die falsche Richtung. Bleiben wir noch im Vektorraum F. Da musst du zu der Folge a_n eine Folge b_n finden, so dass deren Summe das neutrale Element ergibt. Mach das mal mit der Folge (1, 2, 3, ...). Wenn du das hast, kannst du es mit der Folge (a_1, a_2, a_3, ...) versuchen.

10.08.2017, 20:10

Knightfire66

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na das ist easy (-1,-2,-3,...)

10.08.2017, 20:12

Knightfire66

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und das wäre ja a_n^-1 aber wir haben ja | | also betragsstriche, dann wirds ja wieder positiv... also wie geh ich da denn vor?

10.08.2017, 20:43

Knightfire66

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setze ich das eventuell erst gar nicht in die Gleichung ein? Sondern schaue mir nur die Bedingungen an?

10.08.2017, 21:13

Knightfire66

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Zitat:

Original von Knightfire66
setze ich das eventuell erst gar nicht in die Gleichung ein? Sondern schaue mir nur die Bedingungen an?

sry damit ist die funktion mit [attach]45063[/attach] gemeint.

11.08.2017, 09:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von Knightfire66
und das wäre ja a_n^-1 aber wir haben ja | | also betragsstriche, dann wirds ja wieder positiv... also wie geh ich da denn vor?

Langsam, langsam, langsam. Du gehst viel zu hastig vor. Wir sind noch im Vektorraum F und bleiben da auch solange, bis du diesen verstanden hast. Erst dann macht es Sinn, sich mit der Menge (Unterraum) F3 zu befassen.

Was die Kennzeichnung des Inversen angeht, so ist es üblich, für das Inverse der Addition ein "Minus" vor das Element zu schreiben, von dem das Inverse gebildet wurde. Das "^-1" erinnert zu stark an den Exponenten -1, was hier aber gar nicht gemeint ist.

Bevor wir jetzt an den F3 rangehen, würde ich vorher gerne von dir noch das Inverse zu der Folge (a_1, a_2, a_3, ...) sehen.

11.08.2017, 17:01

Knightfire66

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Zitat:

Das "^-1" erinnert zu stark an den Exponenten -1

genau so wars auch gemeint... also als exponent... also nur ein - davor alles klar...

ja wie oben schon gesagt ist die Inverse die Folge mit - davor also...

$\begin{eqnarray*} {-a}_{n} \end{eqnarray*}$

12.08.2017, 15:25

klarsoweit

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OK, ich hoffe, das ist soweit verstanden. Kommen wir nun zur der Menge F3, welche eine Teilmenge der Menge F und verdachtsweise auch ein Untervektorraum des Vektorraums F ist.

Die Menge F3 ist dadurch gekennzeichnet, daß sie alle Folgen enthält, bei denen die Summe der Beträge der Folgenglieder konvergiert. Das ist bekanntermaßen nicht bei jeder Folge der Fall. Nun mußt du prüfen, ob die Menge F3 die Unterraum-Bedingungen erfüllt.

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