Orthogonale Matrix, Reihenfolge der Eigenvektoren |
| 10.08.2017, 11:06 | Winnich | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Orthogonale Matrix, Reihenfolge der Eigenvektoren Ich soll eine orthogonale Matrix P zu einer anderen Matrix A bestimmen. Woher weiß ich, in welcher Reihenfolge man die Eigenwerte von A festlegen soll bzw. in welcher Reihenfolge ich die Eigenvektoren, nachdem diese orthonormalisiert wurden, spaltenweise als Matrix P schreiben soll ? Meine Ideen: Oder spielt das keine Rolle ? |
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| 21.08.2017, 17:05 | Shalec | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn ich mich richtig erinnere gibt es nicht "die" Normalform, sondern nur "eine". Das Tauschen der Reihenfolge ändert natürlich dann auch die resultierende Matrix. Manchmal ist sie dann auch nicht in der gewünschten Normalform gegeben, was aber Zeilen/Spaltenoperationen wieder ausbügeln können. Bedenke: Zeilen- und Spaltenoperationen können als quadratische, invertierbare Matrizen mit Determinante +-1 (bei Vertauschungen) dargestellt werden. Das Produkt dieser überführt dann die Ursprüngliche Matrix in die Zielform. Zeilenop von links, Spaltenop von rechts ran multipliziert. Da diese Matrizen quadratisch sind, lassen sie sich auch gewiss an deine gefundenen Matrizen heranmultiplizieren, idR sucht man z.B. zur Matrix M (bei Diagonalform) zwei Matrizen L und R sodass LMR = D eine Diagonalmatrix ergibt. Hast du allerdings LMR=D' (keine Diagonalmatrix) so nutzt du (heißen die nicht Gaußmatrizen?) Zeilen-und Spaltenoperationen (Vertauschungen), sodass die Matrix in Diagonalgestalt vorliegt. Sagen wir, die Zeilenop werden durch und Spaltenop durch ausgeführt, dann ist eben . Ich hatte die Eigenwerte immer von klein nach groß sortiert und immer die gewünschte Form erhalten. Ich weiß nicht, ob das eine spezielle Methode ist (Pivoting?) oder ob die Dozenten die Aufgaben entsprechend gewählt hatten. In welcher Reihenfolge die Eigenwerte auf der Diagonalen dann erscheinen ist übrigens egal. Häufig klappt nur eine Reihenfolge 
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