Faltung mit Funktionen

11.08.2017, 16:54

p3l4h0

Faltung mit Funktionen

Hallo, ich verzewifl gerade an der Faltung.
Bei kleinen Aufgaben hat es immer geklappt, bei der komme ich leider nicht weiter:
Herausfinden von S(f):
$\begin{eqnarray*} s_1(t)=2 \cdot cos( 4\pi f_0 t) + cos(6 \pi f_0 t)\\ S_1(f)=\delta (f-2f_0)+\delta(f+f_0)+\frac{1}{2} \delta(f-3f_0)+ \frac{1}{2} \delta(f+3f_0)\\ W(f)=T_0 \cdot si(\pi f T_0)\\ s_2(t)=s_1(t) \cdot w(t)\\ S_2(f)=S_1(f) * W(f)\\ =\{\delta(f-2f_0)+\delta(f+2f_0)+\frac{1}{2}\delta(f-3f_0)+\frac{1}{2} \delta(f+3f_0)\} * T_0 \cdot si(\pi f T_0) \end{eqnarray*}$
Bis dahin ist es sicher richtig ab hier habe ich Probleme
$\begin{eqnarray*} S_1*W=\int_0^t S_1(\tau) \cdot W(t-\tau) d\tau\\ =\int_0^t \delta(f-2f_0)+\delta(f+2f_0)+\frac{1}{2}\delta(f-3f_0)+\frac{1}{2} \delta(f+3f_0) \cdot (T_0-\tau) \cdot si(\pi f (T_0-\tau)) \end{eqnarray*}$
Wenn ich dass jetzt von den Grenzen 0->t (ich glaube aufgrund der Rechteckfunktion, weil ich die grenzen des Cosinus nicht kenne lasse ich ihn übder das Rechteck laufen) einsetze.
Aber ich sicher immer noch ein Delta drin und mehr si Funktionen.
Die Lösung sollte sein:
$\begin{eqnarray*} T_0\cdot si(\pi(f-2f_0)T_0)+T_0 \cdot si(\pi(f+2f_0)T_0)+\frac{T_0}{2} \cdot si(\pi(f-3f_0)T_0)+\frac{T_0}{2} \cdot si(\pi(f+3f_0)T_0) \end{eqnarray*}$
und ich komme einfach nicht druaf

Etwas Hilfe wäre toll
Danke

11.08.2017, 23:06

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RE: Faltung mit Funktionen

Zitat:

Original von p3l4h0
$\begin{eqnarray*} (T_0-\tau) \cdot si(\pi f (T_0-\tau)) \end{eqnarray*}$

f ist hier die Variable

$\begin{eqnarray*} T_0 \cdot si(\pi (f -\tau)T_0) \end{eqnarray*}$

12.08.2017, 10:14

p3l4h0

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Erst mal vielen Dank für die Antwort, ein paar Schwierigkeiten habe ich leider aber noch.
Wenn ich nur einmal den ertsen Abscdhnitt nehme:
ich nehme einma das Integral von $\begin{eqnarray*} -\infty bis \infty \end{eqnarray*}$ da der Dirac dann zu eins wird und ich mit meinen Grenzen vorher nicht zu sicher war.
$\begin{eqnarray*} \int_{- \infty}^{\infty} \delta (f-2f_0) \cdot T_0 \cdot si(\pi f T_0)\\ \int_{- \infty}^{\infty} \delta (\tau -2f_0) \cdot T_0 \cdot si(\pi (f-\tau) T_0)\\ \text{ich weiß}\\ \int_{- \infty}^{\infty} \delta(x) dx=1\\ \end{eqnarray*}$
so könnte das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ verschwinden. aber leider auch mein $\begin{eqnarray*} (f-2f_0) \end{eqnarray*}$ .
Außerdem ist die si-Funktion im unendlichen jeweils 0. Die Ableitung der Funktion wird auch zu null im unendlichen.
Wenn ich die Grenzen 0-t nutze komme ich auch auf ein anderes Ergebniss.
Laut Lösung ersetzen sie ja auch nur das f
$\begin{eqnarray*} \delta( \textcolor{red}{f-2f_0)}\\ T_0 \cdot si(\pi \textcolor{red}{f} T_0)\\ T_0 \cdot si(\pi( \textcolor{red}{f-2f_0}) T_0)\\ \end{eqnarray*}$
und nun verstehe ich nicht warum der dirac =1 wird und es einfach für das f eingesetzt wird es ist doch eine multiplikation.

Nochmals vielen Dank

12.08.2017, 17:23

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Zitat:

Original von p3l4h0
$\begin{eqnarray*} \int_{- \infty}^{\infty} \delta (\tau -2f_0) \cdot T_0 \cdot si(\pi (f-\tau) T_0 )\\ \ \end{eqnarray*}$

Es macht Sinn das etwas anders zu schreiben
$\begin{eqnarray*} \int_{- \infty}^{\infty} T_0 \cdot si(\pi (\tau) T_0 )\cdot \delta (f -2f_0-\tau)d\tau \end{eqnarray*}$

Jetzt hat man doch einfach folgendes
$\begin{eqnarray*} \int_{- \infty}^{\infty} \delta (x_0 -x) \cdot f(x)dx=f(x_0) \end{eqnarray*}$

14.08.2017, 10:04

p3l4h0

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super vielen Dank der kleine Trick hatte sich bei mir noch nicht ganz verinnerlicht.
Jetzt ist es viel Leichter

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