Erzeuger der multiplikativen Gruppe |
13.08.2017, 23:01 | Thomas7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erzeuger der multiplikativen Gruppe Ich beschäftige mich gerade mit multiplikativen Gruppen und deren Eigenschaft, zyklisch zu sein. Wenn ich beispielsweise folgende Menge habe: Z = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, so kann ich folgende Tabelle erzeugen: a | 1 2 3 4 5 6 2^a | 2 4 8 5 10 9 Da am Schluss alle Gruppenelemente als Potenzen von 2 vorkommen, kann man dann sagen, dass 2 ein Erzeuger von Z ist. Meine Frage bezieht sich nun aber mehr darauf, wie man auf die Angaben in der unteren Zeile der Tabelle kommt. 2^1 = 2 ist klar. 2^2 = 4 dito. 2^3 = 8 dito. 2^4 = 16 --> 5 --> warum? Das verstehe ich nicht ganz. 2^5 = 32 --> 10 --> dito? 2^6 = 64 --> 9 --> dito? Herzlichen Dank für die Aufklärung! |
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13.08.2017, 23:12 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, hier beisst sich was massiv:
Mengen sind keine Gruppen. Du betrachtest hier die multiplikativen Gruppe der Einheiten des Restklassenings modulo 11. |
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13.08.2017, 23:20 | Thomas7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ahhhh jetzt hat's Klick gemacht. Danke dir vielmals für die Richtigstellung! |
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13.08.2017, 23:29 | Thomas7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, eine Frage hätte ich trotzdem noch: Bisher war ein möglicher Erzeuger immer bekannt bzw. wurde zur Überprüfung vorgeschlagen. Wie käme man auf einen allfälligen Erzeuger ohne einen Hinweis? |
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13.08.2017, 23:35 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt keinen effizienten Algorithmus zur Bestimmung olher Erzeuger. Für die Großenodnung von Übungsaufgaben geht Durchprobieren aka Brute-force schnell genug. |
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14.08.2017, 09:46 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was besseres als Probieren kenne ich auch nicht. Zumindest kann man etwas zum Testen der Probanden für den Erzeuger von sagen: Man muss nicht alle für berechnen, es reicht aus für alle Primteiler von zu überprüfen: Ist nämlich , so gibt es wegen aber immerhin ein mit . Nun kann man irgendeinen Primfaktor von nehmen und erhält , woraus folgt. Im vorliegenden Fall mit reicht somit die Betrachtung von sowie aus um zu zeigen, dass 2 erzeugendes Element ist. |
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