Erzeuger der multiplikativen Gruppe

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Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeuger der multiplikativen Gruppe
Hallo miteinander

Ich beschäftige mich gerade mit multiplikativen Gruppen und deren Eigenschaft, zyklisch zu sein.

Wenn ich beispielsweise folgende Menge habe:
Z = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, so kann ich folgende Tabelle erzeugen:

a | 1 2 3 4 5 6
2^a | 2 4 8 5 10 9

Da am Schluss alle Gruppenelemente als Potenzen von 2 vorkommen, kann man dann sagen, dass 2 ein Erzeuger von Z ist.

Meine Frage bezieht sich nun aber mehr darauf, wie man auf die Angaben in der unteren Zeile der Tabelle kommt.
2^1 = 2 ist klar.
2^2 = 4 dito.
2^3 = 8 dito.
2^4 = 16 --> 5 --> warum? Das verstehe ich nicht ganz.
2^5 = 32 --> 10 --> dito?
2^6 = 64 --> 9 --> dito?

Herzlichen Dank für die Aufklärung!
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

hier beisst sich was massiv:
Zitat:
beschäftige mich gerade mit multiplikativen Gruppen

Zitat:
folgende Menge

Mengen sind keine Gruppen.

Du betrachtest hier die multiplikativen Gruppe der Einheiten des Restklassenings modulo 11.
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhh jetzt hat's Klick gemacht.

Danke dir vielmals für die Richtigstellung!
Thomas7 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, eine Frage hätte ich trotzdem noch: Bisher war ein möglicher Erzeuger immer bekannt bzw. wurde zur Überprüfung vorgeschlagen.
Wie käme man auf einen allfälligen Erzeuger ohne einen Hinweis?
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keinen effizienten Algorithmus zur Bestimmung olher Erzeuger.
Für die Großenodnung von Übungsaufgaben geht Durchprobieren aka Brute-force schnell genug.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Was besseres als Probieren kenne ich auch nicht. Zumindest kann man etwas zum Testen der Probanden für den Erzeuger von sagen:

Man muss nicht alle für berechnen, es reicht aus für alle Primteiler von zu überprüfen:

Ist nämlich , so gibt es wegen aber immerhin ein mit . Nun kann man irgendeinen Primfaktor von nehmen und erhält , woraus folgt.

Im vorliegenden Fall mit reicht somit die Betrachtung von sowie aus um zu zeigen, dass 2 erzeugendes Element ist.
 
 
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