Sortiermaschine für Kugelfarbe

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Th3MathJunki3 Auf diesen Beitrag antworten »
Sortiermaschine für Kugelfarbe
Meine Frage:
Abend,

Habe vor kurzen eine Aufgabe lösen müssen und möchte nun wissen, ob ich sie richtig gelöst habe oder eben nicht.

Die Aufgabe lautete in etwa:
In einer Fabrik werden sowohl blaue als auch rote Kugeln hergestellt, in der gleichen Anzahl. Am Ende eines Förderbandes werden diese dann zwischengelagert und zwar bevor sie sortiert werden.

An der Sortiermaschine kommen diese jetzt in einer zufälligen Reihenfolge an. Dann waren drei Folgen genannt (in etwa so):
(R=rot B = blau)

BBBBBB
RRRBBB
RBRRBR

Jetzt sollte man sagen, ob diese Folgen gleichwahrscehinlich sind oder eben nicht.


Meine Ideen:
Als erstes ging ich davon aus, da R und B in gleicher Anzahl vorhanden, ist die Wahrscheinlichkeit doch gleich groß, das ein R oder B folgt, somit alles gleichwahrcheinlich.

Doch...

Ist es nicht so, dass wenn bereits eine rote Kugel angekommen ist, weniger rote Kugeln vor der Sortiermaschine/in der Zwischenlagerung sind, als vorher und somit die Wahrscheinlichkeit höher, dass auf R ein B folgt... als R und dann noch ein R ??

Übertragen auf die oben benannten Folgen, sind diese eben doch nicht gleich wahrscheinlich?

Was meint ihr? Danke.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt auf den genauen Wortlaut der Fragestellung an:

a) Betrachtet man einfach ab einem festgelegten Zeitpunkt 6 aufeinander folgende Kugeln, dann treten die drei Sequenzen BBBBBB , RRRBBB sowie RBRRBR mit jeweils der gleichen Wahrscheinlichkeit auf.

b) Fragt man hingegen so: Wir beobachten die fortlaufend eintreffenden Kugeln solange, bis die aktuell sechs letzten Kugeln mit einem der drei angegebenen Muster übereinstimmen. Kommen die drei Muster dann mit gleicher Wahrscheinlichkeit als "Stopmuster" zum Zuge? Ich hab's jetzt hier nicht konkret ausgerechnet, aber aus ähnlichen Problemstellungen weiß ich, dass die Antwort ziemlich sicher "Nein!" lautet (Stichwort: Markov-Kette).
Th3MathJunki3 Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL 9000
Habe dir mal eine PN geschrieben.
Ok, danke schonmal für die Antwort smile Ich glaube ich muss mich gerade für das Abi nochmal mit Stochastik beschäftigen Lesen1 und werde mir jetzt mal ein wenig zur Markov-Kette anschauen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mal, in der Form ist a) gemeint.

b) ist doch einigermaßen happig in der Rechnung.
Th3MathJunki3 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke. Bei der Aufgabe war gar keine Rechnung an sich gefragt, eben nur ob es gleich wahrscheinlich ist oder nicht... es war ein Berufseignungstest ... also wahr wohl doch Antwort "a" also "ja" richtig - habe aber mit "Nein" :/ geantwortet.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte schon Probleme bei "in gleicher Anzahl hergestellt"
gehabt.
Dann aber überlegt: Die wollen dich auf die populäre falsche Schiene locken ------> das Gegenteil ist richtig. Augenzwinkern
 
 
Th3MathJunki3 Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap
Ja, hehe für den Rest des Tests hab ich ein paar Minuten gebraucht, hier saß ich gefühlt stundenlang vor.
Wie meinen? Das "ja" oder "nein" sei hier das korrekte Gegenteil?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist wieder ein Fall von unzureichender Information, dieses "in der gleichen Anzahl" ist etwas nebulös formuliert:

Ich bin oben davon ausgegegangen, dass es eine sehr große Produktionsmenge gibt, d.h., jede einzelne Kugel unabhängig von der bisherigen/künftigen Produktion jeweils mit Wahrscheinlichkeit 50% blau oder rot ist. Da sind alle Sequenzen gleichwahrscheinlich.

Wenn es aber so ist, dass die Firma in einem begrenzten Zeitraum tatsächlich exakt genauso viele rote wie blaue Kugeln herstellt, dann ist die Situation anders, dann ist die Sequenz mit 3xR,3xB wahrscheinlicher als die mit 4xR, 2xB, und die wiederum wahrscheinlicher als 6xB:

Bei 10000 produzierten Kugeln (5000 rot, 5000 blau) hat man für die Sequenzen folgende Wahrscheinlichkeiten (gerundet):

RRRBBB : 0.0156297
RBRRBR : 0.0156266
BBBBBB : 0.0156016

Zum Vergleich: 1/64 = 0.015625
Th3MathJunki3 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten.
Ja, das war in etwa meine Überlegung, weshalb die Sequenzen nicht gleich wahrscheinlich sein können. Stimmt, eigentlich müssten dann auch beide Antworten zulässig sein, da die Aufgabe unzureichend formuliert ist...

Wenn die Produktionsmenge weitaus größer wäre, dann wären die unterschiede in den Wahrscheinlichkeiten der unterschiedlichen Sequenzen doch nur geringer, so dass diese gegen Null gehen und man dann von einer gleichen Wahrscheinlichkeit spricht? Aber 100%ig gleich wahrscheinlich ist es doch dennoch nicht, bei jeweils gleicher Produktionsmenge, oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Maschine so arbeitet, dass sie unabhängig immer mit Wahrscheinlichkeit 50% rote und entsprechend 50% blaue Kugeln ausstösst, dann haben wir gleiche Wahrscheinlichkeit.

Wenn wir aber z.B. zwei Maschinen haben, die eine stellt genau rote Kugeln her, die andere blaue, und die werden bunt durchmischt auf das Band geleitet. dann liegt die untere Situation vor. Und ja, für konvergiert das hin zur Gleichverteilung.

Zitat:
Original von Th3MathJunki3
Aber 100%ig gleich wahrscheinlich ist es doch dennoch nicht, bei jeweils gleicher Produktionsmenge, oder?

Bei endlichem N und der unteren Methode nicht, so ist es.
Th3MathJunki3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.
Mir ist gerade aufgefallen, dass ja von einer "Zwischenlagerung" von roten und blauen am Ende des Fließbandes/ vor dem Sortieren die Rede war. Dann muss bei dieser konkreten Aufgabe ja auch die zweite Möglichkeit mit einer bestimmten Anzahl N und somit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten der Sequenzen die richtige Antwort gewesen sein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man so oder so sehen: Man kann auch die Kugeln nach Methode 1 zwischenlagern.

Tja, womöglich ist der Unterschied zwischen

Zitat:
Original von Th3MathJunki3
Die Aufgabe lautete in etwa:

und exaktem Wortlaut entscheidend. Wie gesehen, ist das hier ja eine Gratwanderung zwischen den Modellen, zumindest bei dieser Fragestellung.
Th3MathJunki3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ok verstehe.
Aber es war halt auch nach exaktem Wortlauf nicht exakter formuliert:

"In einer Fabrik werden blaue und rote Kugeln hergestellt und zwar in der gleichen Anzahl. Am Ende des Fließbandes werden die blauen und roten Kugeln zwischengelagert, bevor sie sortiert werden."
und dann...
"An der Sortiermaschine kommen die roten und blauen Kugeln in ZUFÄLLIGER [war groß geschrieben] Reihenfolge an."
Das wars jetzt exakt und lässt nicht auf entweder Methode 1 oder 2 schließen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tja dann ... auf die offizielle Lösung und deren Begründung warten, dann sollte man ja sehen, welches Modell die Aufgabensteller im Sinn hatten.
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