Lineare Transformation von mehrdimensionalen Dichten

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Domschke Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Transformation von mehrdimensionalen Dichten
Meine Frage:
Sei ein Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichte . Dann gilt für lineare Abbildungen mit einer invertierbaren Matrix


(aus A. Rooch: Statistik für Ingenieure).

Falls eine Matrix mit vollem Rang ist, ist eine Transformation von multivariaten Normalverteilungen offenbar auch noch möglich. Wie sieht es aber bei anders verteilten aus, wenn nicht regulär ist? Ist dann unter sonst passenden Voraussetzungen die Transformation möglich, und wenn ja, wie muss hier vorgegangen werden?

Meine Ideen:
Vielen Dank für etwaige Antworten!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Domschke
Falls eine Matrix mit vollem Rang ist, ist eine Transformation von multivariaten Normalverteilungen offenbar auch noch möglich.

Angesichts von obigem mit meinst du wohl eher eine Matrix. Und die Aussage stimmt auch nur für . Für ist selbst bei "vollem" Rang dieser Matrix der Vektor nämlich nicht mal mehr stetig verteilt, da die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse auf einer -dimensionalen Hyperebene konzentriert ist - das widerspricht der Stetigkeit der Verteilung innerhalb des Raumes .

Zitat:
Original von Domschke
Wie sieht es aber bei anders verteilten aus, wenn nicht regulär ist? Ist dann unter sonst passenden Voraussetzungen die Transformation möglich, und wenn ja, wie muss hier vorgegangen werden?

Selbe Antwort wie eben: Ist nicht regulär, dann ist die Verteilung von nicht stetig, damit existiert überhaupt keine Dichte!


Man kann es so zusammenfassen: muss regulär sein.
Domschke Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die Antwort!

Da hier als Vektor angeschrieben wurde, meinte ich die Matrix soll Zeilen und Spalten haben.

-------------------------------------------------

Korrektur: Da ist mit den Zeilen und Spalten tatsächlich etwas durcheinander gekommen, da ich nebenbei in ein anderes Skriptum schaue in dem die Transformation als angegeben ist. Also soll hier eine Matrix sein, wie Du geschrieben hast.

--------------------------------------------------

Das sein soll habe ich nicht erwähnt. Ich gehe davon aus, dass die einzelnen Zeilen voneinander linear unabhängig sein müssen. Ist dann auch für eine Transformation (zunächst wie beschrieben linear) möglich?

Für den allgemeinen Fall einer Funktion mit passenden Voraussetzungen findet sich wieder in A. Rooch für



die Angabe der gemeinsamen Dichtefunktion



mit der Jakobimatrix der Abbildung , was so aber offensichtlich nicht funktioniert für . Wie kann man sich hier helfen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für mit geht man gewöhnlich so vor:

Statt betrachtet man eine Funktion , die in den ersten Komponenten mit übereinstimmt, d.h., mit .

Die Ergänzung der an sich "überzähligen" Komponenten sollte dabei so geschehen, dass die genannte Jacobi-Matrix regulär ist.

Damit hat man eine Dichte von in . Um daraus eine Dichte für in zu bekommen, sind einfach die restlichen (n-m) Komponenten "wegzuintegrieren", d.h.,




Das kenne ich so auch als üblichen Weg, um etwa Faltungsformeln nachzuweisen, z.B. für die Summe: Man betrachtet

,

berechnet per o.g. Transformationssatz die Dichte aus , integriert dann wie oben erläutert Komponente weg, und übrig bleibt die bekannte Faltungsformel für . Augenzwinkern
Domschke Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, habe mein Modellbeispiel, indem ich 4 unabhängige auf 2 abhängige ZV transformiert habe, mit der Methode lösen können. Freude Bleibt nur noch das Problem, wie man hochdimensionale Dichten dann effizient numerisch Integrieren kann, dies hat schon bei der Dimension 4 etwas gedauert. Aber das ist wohl ein anderes Problem. verwirrt

Zu den transformierten Dichtefunktionen habe ich noch eine Frage: Die Dichte einer transformierten n-dimensionalen Normalverteilung ist in A. Rooch mit



angegeben, wobei offenbar und ist. Falls also (wie du geschrieben hast) regulär ist, ist eine Erweiterung und anschließende "Wegintegration" nicht notwendig, dies klappt aber wohl nur bei der Transformation von Normalverteilungen? Insbesondere in der Dichtefunktion einer linearen Abbildung



bringt man das wohl nicht weg?

Wie kommt man eigentlich auf die genannten Formeln für gemeinsame Dichten und Transformationen? Habe dazu in Lehrbüchern über Statistik für Nichtmathematiker (wie z.B. dem erwähnten A.Rooch) nur die Angabe der Formeln ohne Herleitung gefunden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Domschke
Falls also (wie du geschrieben hast) regulär ist, ist eine Erweiterung und anschließende "Wegintegration" nicht notwendig, dies klappt aber wohl nur bei der Transformation von Normalverteilungen?

So ist es. An sich steckt die Integration da auch drin (warum sollte im Spezialfall nicht gelten, was im allgemeinen Fall gilt), aber das Wegintegrieren geht eben im Fall der Normalverteilung so schön auf, wie von dir geschrieben.

Zitat:
Original von Domschke
Wie kommt man eigentlich auf die genannten Formeln für gemeinsame Dichten und Transformationen?

Naja, dazu solltest du vielleicht eher in Bücher zur mehrdimensionalen Analysis schauen, dort läuft das unter dem Stichwort Transformationssatz. Ist also keine ureigene Erfindung der Stochastik. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Domschke
Insbesondere in der Dichtefunktion einer linearen Abbildung



bringt man das wohl nicht weg?

Ich würde mal auch den Fokus auf richten: Was soll das sein im Fall einer -Matrix mit ? Augenzwinkern

Nein, das oben beschriebene Verfahren (Transformation auf gleichdimensionale Funktion und dann Wegintegrieren) lässt sich wohl nicht umgehen.
 
 
Domschke Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur, in erster Formel soll dies heißen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es sollte heuristisch auch irgendwie klar sein:

Bei mit einer regulären -Matrix spielt für die Verteilung von in einer Umgebung von nur die Verteilung von in der Nähe von unter Berücksichtigung der "Volumenverzerrung" durch (was sich in äußert) eine Rolle.

Bei einer -Matrix mit und "vollem" Rang von hat die Gleichung indes mehrere Lösungen, also in der Struktur , also muss sich auch die X-Verteilung von ganz darin widerspiegeln, und eben das geschieht durch die Integration. Es ist also illusorisch zu erhoffen, dass sich diese Verteilung nur durch die lokale Verteilung von X in der Umgebung eines einzigen Punktes beschreiben lässt.
Domschke Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführlichen Erläuterungen!

Anhand eines Trivialbeispieles versuche ich die Transformation nachzuvollziehen. Sei ein Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichte . Dieser soll gemäß transformiert werden (konkrete Zahlenwerte um auch prüfen zu können ob ich die Transformationsgrenzen korrekt habe). Dann erhält man mit



die Transformation



Ist das so korrekt?

Offenbar kann man keinen Zusammenhang zwischen und herstellen, ohne mit der Dichte zu rechnen, da da die transformierten Integrationsgrenzen "drinhängen"? Oder gibt es da eine andere Möglichkeit wie man von einer gegebenen Summenfunktion auf die transformierte kommt, wenn der Ausgangsvektor aus voneinander unabhängigen ZVs besteht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In der Rechnung oben ist ein kleiner Verwechslungsfehler : Es hätte zur Anwendung gebracht werden müssen, mit Endresultat dann .

EDIT: Mit den Integrationsgrenzen ist auch irgendwas durcheinandergeraten, muss ich noch zusammenpuzzeln.

EDIT2: Die richtigen Integrationsgrenzen lauten .


Zitat:
Original von Domschke
Offenbar kann man keinen Zusammenhang zwischen und herstellen, ohne mit der Dichte zu rechnen, da da die transformierten Integrationsgrenzen "drinhängen"?

So ist es: Ein solcher Verteilungsfunktionswert beschreibt ja die Wahrscheinlichkeit für ein Rechteck mit gegebener Ecke rechts oben und nach links unten ins unendliche "offen". Nur bei ganz speziellen Matrizen (sagen wir es konkret: Diagonalmatrizen) wird daraus auch nach der Transformation wieder ein solches achsenparalleles Rechteck, in allen anderen Fällen liegt das irgendwie schief in der Ebene - insofern war nichts anderes zu erwarten.
Domschke Auf diesen Beitrag antworten »

Aja, das habe ich auf die Schnelle vertauscht, obwohl ich die Beziehungen und noch direkt darüber geschrieben habe... Hammer

OK, alles ein bischen klarer geworden. Danke für die vielen schnellen und ausführlichen Antworten! Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Veranschaulichung zu deinen Vektoren: Betrachten wir , in der X-Ebene ist das alles links unterhalb von


und zugehörig in der Z-Ebene alles links unterhalb von
Domschke Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Integrationsgrenzen verstehe ich nicht (ich wusste ja warum ich Zahlen mit angebe Augenzwinkern ): wenn die Obergrenzen und enthalten, wie komme ich dann letztendlich auf eine Funktion in ? Wenn ich dann und setze, steht da in den Integrationsgrenzen ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Integrationsgebiet wird genauso der Transformation unterworfen! Hatte ich doch hier schon detailliert ausgebreitet, was passiert:

Zitat:
Original von HAL 9000
Ein solcher Verteilungsfunktionswert beschreibt ja die Wahrscheinlichkeit für ein Rechteck mit gegebener Ecke rechts oben und nach links unten ins unendliche "offen". Nur bei ganz speziellen Matrizen (sagen wir es konkret: Diagonalmatrizen) wird daraus auch nach der Transformation wieder ein solches achsenparalleles Rechteck, in allen anderen Fällen liegt das irgendwie schief in der Ebene - insofern war nichts anderes zu erwarten.


Auf das obige Beispiel bezogen: Sei



mit dann Umkehrabbildung



so gilt für Gebiet ja in der Transformation

,

und genauso ist dann die Integration zu lesen:



,

d.h., die obere Integrationsgrenze der inneren Integration hängt vom Wert der äußeren Integrationsvariable ab, das entspricht in meiner zweiten Skizze oben der schrägen grünen Linie. Ich bin reichlich erstaunt, dass du da soviel Unverständnis äußerst - hast du denn noch nie mit mehrdimensionaler Analysis (wenigstens zwei Dimensionen) und entsprechenden Integralen darin zu tun gehabt?
Domschke Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ging es nur um das formale Einsetzen der korrekt transformierten Grenzen. Bin da auch noch mit den normalen und den Tilde-Variablen durcheinandergekommen; mit der Schreibweise ist es übersichtlicher. Geometrisch habe ich mir das schon vorstellen können, habe es mir auch die Verteilungen und Integrationsgebiet im 3dplot angeschaut.

Danke nochmals für alle Antworten.

P.S. Habe mit Variablentransformationen nur selten zu tun gehabt, hier hat mich etwas die Abhängigkeit der Grenzen voneinander verwirrt.
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