Zeigen, dass die Komposition total differenzierbar ist und Jacobimatrix bestimmen

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Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass die Komposition total differenzierbar ist und Jacobimatrix bestimmen
Meine Frage:
Jo,

ich habe zwei Abbildungen gegeben.

f: R^3 -> R, f(x,y,z) = sin(x+yz)

die ist total diff.bar, da alle verknüpfungen stetig diffbar sind, da aus trigonometrischen Funktionen. (hab ich schon gezeigt)

g : R ? R^3, g(x) = (x^2, sin(x), cos2(x))^T

Die ist auch total differenzierbar (hab ich schon gezeigt)
... und die Jacobimatrix lautet:

= (2x, cos(x), -2cos(x)sin(x))

Nun die Aufgabe lautet zu zeigen, dass diese Abbildung aus der Komposition von g mit f auch total diff.bar ist und die Jacobimatrix davon zu aufstellen...

h: R -> R, h = f g

das ist ja nichts anderes als h=f(g(x))

Und meine Vermutung ist:

Satz:

Summe, Produkt, Quotient und Komposition stetiger diff.barer Funktionen ist wiederum stetig diff.bar.

Deswegen habe ich gedacht, die ist auch automatisch total diff.bar.

Und nun muss ich die Jacobimatrix davon auftsellen aber wie?

Ich habe an Kettenregel gedacht:

h' = f'(g(x)) * g'(x)

also

cos(x²+ sin(x)cos²(x))+(2x, cos(x), -2cos(x)sin(x))

Was sagt ihr dazu?

mfg, danke im Vorraus



Meine Ideen:
...
Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Jacobimatrix am Ende richtig, wenn nicht wie lautet die richtige Lösung?
Knightfire66 Auf diesen Beitrag antworten »

Jo Leute,

ich weiß ist lang aber das sieht nur viel aus, ist eigentlich eine kurze Frage, ob am Ende die Jacobimatrix richtig ist? Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass die Komposition total differenzierbar ist und Jacobimatrix bestimmen
Zitat:
Original von Knightfire66
Und meine Vermutung ist:

Satz:

Summe, Produkt, Quotient und Komposition stetiger diff.barer Funktionen ist wiederum stetig diff.bar.

Da vermutest du richtig. smile

Zitat:
Original von Knightfire66
Ich habe an Kettenregel gedacht:

h' = f'(g(x)) * g'(x)

also

cos(x²+ sin(x)cos²(x))+(2x, cos(x), -2cos(x)sin(x))

Kettenregel ist durchaus das richtige Stichwort. Allerdings hapert es an der konkreten Ausführung. Wenn ich das richtig sehe, hast du mit cos(x²+ sin(x)cos²(x)) eine reellwertige Funktion, während hintendran noch ein Vektor addiert wird. Das paßt schon mal mit den Dimensionen nicht. Überlege, welche (Matrix-)Form f'(x,y,z) hat. Desgleichen für g'(x).
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