Extremwertverteilung: Herleitung verstehen

18.08.2017, 16:50	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertverteilung: Herleitung verstehen Hallo zusammen Ich lese mich zur Zeit in das Thema der Extremwertverteilung ein und bin da auf eine Herleitung gestoßen, die ich nicht ganz verstehe (wahrscheinlich fehlen mir da die Hintergrundkenntnisse). Sei $\begin{eqnarray} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray}$ unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ . Bezeichnet $\begin{eqnarray} X_{(n)}=\max\{X_1,\ldots,X_n\} \end{eqnarray}$ . Dann gilt bekanntlich $\begin{eqnarray} P(X_{(n)}\leq x) = (F(x))^n \end{eqnarray}$ . Existieren folgen $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} P\left(\frac{X_{(n)} - b_n}{a_n} \right) = \lim_{n\to\infty} \big( F(a_nx + b_n\big)^n = H(x) \end{eqnarray}$ , dann heißt $\begin{eqnarray} H(x) \end{eqnarray}$ Extremwertverteilung. Weiter ist bekannt, dass $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ in der Klasse der GEV-Verteilung liegt, also $\begin{eqnarray} H_\xi(x) = \begin{cases}\exp(-(1+\xi x)^{-\frac1\xi}) &, \xi \neq 0, \\ \exp(-\exp(-x)) &, \xi = 0.<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ Bis hier ist alles soweit klar. Nun zu meinem Verständnisproblem. Es heißt weiter, dass, wenn man die Gleichung mit dem Grenzwert beidseitig logarithmiert, erhält man $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} n \log F(a_n x + b_n) = \log H(x) \end{eqnarray}$ . Da nun $\begin{eqnarray} F(a_n x + b_n) \to 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R: 0 < H(x) < 1 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \frac{-\log F(a_nx + b_n)}{1- F(a_n x + b_n)} = 1 \end{eqnarray}$ oder äquivalent $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} n\overline F(a_n x + b_n) = -\log H(x) = \begin{cases}(1+\xi x)^{-\frac1\xi} &, \xi \neq 0, \\ \exp(-x) &, \xi = 0.<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \overline F(x) = 1 - F(x) \end{eqnarray}$ Kann mir jemand Helfen, meine Verständnisprobleme zu beseitigen Vielen Dank schon mal im Voraus!
18.08.2017, 16:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau ist unklar? Dass $\begin{eqnarray} \lim_{y \nearrow 1} \frac { -\log y } { 1 -y} = 1 \end{eqnarray}$ ist? Oder, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty} n \overline F = \lim_{n\to\infty} -n \log F \end{eqnarray}$ , sofern die Grenzwerte existieren?
18.08.2017, 17:06	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertverteilung: Herleitung verstehen Zwei Sachen: $\begin{eqnarray} F(a_n x + b_n) \to 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R: 0 < H(x) < 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \frac{-\log F(a_nx + b_n)}{1- F(a_n x + b_n)} = 1 \end{eqnarray}$
18.08.2017, 17:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertverteilung: Herleitung verstehen Ok. Das zweite habe ich schon beantwortet. Das erste: Falls $\begin{eqnarray} 0 < H(x) < 1 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \log H(x) < 0 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ geht, muss $\begin{eqnarray} \log F(a_n x+b) \to 0 \end{eqnarray}$ gehen, damit $\begin{eqnarray} n \log F(a_n x +b) \to \log H(x) \end{eqnarray}$ konvergieren kann. Damit folgt, dass $\begin{eqnarray} \log F(a_n x + b) \nearrow 0 \end{eqnarray}$ konvergiert, und damit $\begin{eqnarray} F(a_n x + b) \nearrow 1 \end{eqnarray}$ .
18.08.2017, 17:11	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{y \nearrow 1} \frac { -\log y } { 1 -y} = 1 \end{eqnarray}$ Das ist mir klar, aber ich verstehe nicht wieso der Grenzwert für $\begin{eqnarray} y \to 1- \end{eqnarray}$ läuft
18.08.2017, 17:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe ja nichts anderes gemacht, als $\begin{eqnarray} y:= F(a_n x + b_n) \end{eqnarray}$ zu setzen. Lange Terme verdecken nur den einfachen Zusammenhang. Warum die Folge $\begin{eqnarray} F(a_n x + b_n) \nearrow 1 \end{eqnarray}$ gilt, habe ich hoffentlich im vorigen Post beantworten können.
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18.08.2017, 17:29	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Alles verstanden! Ich danke dir

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