Taylorpolynom und Restglied

19.08.2017, 15:35

ms20

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Taylorpolynom und Restglied

Meine Frage:
Hi Leute, habe eine Aufgabe siehe im Bild..

Mit a und b hatte ich keine Probleme nur bei der c)

Meine Ideen:
Wie soll ich denn genau die Reihe aufstellen ?

Das ist ja das Taylorpolynom $\begin{eqnarray*} T_{n}(0,x)= \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(x)}{k!} (x-x_{0})^k \end{eqnarray*}$

mit dem Restglied : $\begin{eqnarray*} R_{n} (0,x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} \end{eqnarray*}$

da das Taylorpolynom alternierend ist denke ich das die Reihe so aussieht :

$\begin{eqnarray*} T_{n}(0,x)= \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{(-x)^k}{k!} *(x)^k \end{eqnarray*}$
stimmt das erstmal ?

und ich denke die Restglieddarstellung müsste so aussehen :

$\begin{eqnarray*} R_{n} (0,x)=\frac{(\xi+1)^k}{(n+1)!}(x)^{n+1} \end{eqnarray*}$

stimmt das ?

19.08.2017, 16:11

ms20

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RE: Taylor Polynom und Restglied
Ich glaube die Taylor reihe heißt einfach

$\begin{eqnarray*} T_{n}(0,x)= \sum\limits_{k=1}^{n} (-x)^k *(x)^k \end{eqnarray*}$

das andere war falsch oder ?

20.08.2017, 12:34

ms20

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RE: Taylor Polynom und Restglied
jemand da ?

20.08.2017, 13:19

xb

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RE: Taylor Polynom und Restglied

Zitat:

Original von ms20
Ich glaube die Taylor reihe heißt einfach

$\begin{eqnarray*} T_{n}(0,x)= \sum\limits_{k=1}^{n} (-x)^k *(x)^k \end{eqnarray*}$

das andere war falsch oder ?

Ich würde das so schreiben n=4 und k+1

$\begin{eqnarray*} T_{4}(0,x)= \sum\limits_{k=1}^{4} (-x)^{k+1} *(x)^k \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} R_{5} (0,x) \end{eqnarray*}$

20.08.2017, 15:13

ms20

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RE: Taylor Polynom und Restglied
Also ich glaube du meinst eher :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{4} (-1)^{k+1}*(x)^k \end{eqnarray*}$

oder ?

20.08.2017, 15:21

ms20

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RE: Taylor Polynom und Restglied
Das Restglied wäre dann

: $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{120}{(\xi+1)^6} }{120} *(x)^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\xi+1)^6} * (x)^{n+1} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \frac{(x)^{5}}{(\xi+1)^6} \end{eqnarray*}$

wie kann ich jetzt überprüfen für welche x diese reihe Konvergiert ?
Ich habe mal gehört die Reihe Konvergiert wenn das Restglied gegen 0 geht.. verwirrt

verwirrt

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20.08.2017, 18:17

xb

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RE: Taylor Polynom und Restglied

Zitat:

Original von ms20
Also ich glaube du meinst eher :
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{4} (-1)^{k+1}*(x)^k \end{eqnarray*}$
oder ?

Ja richtig

Zitat:

Original von xb
$\begin{eqnarray*} R_{5} (0,x) \end{eqnarray*}$

bei n=4 nennt sich das Restglied $\begin{eqnarray*} R_{4} (0,x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von ms20
$\begin{eqnarray*} \frac{(x)^{5}}{(\xi+1)^6} \end{eqnarray*}$

Jetzt braucht man noch einen Wert für das xi

Bei der Frage nach dem Konvergenzradius von x betrachtet man das unendliche Taylor Polynom
Bei einem endlichen Taylor Polynom gibt es für jeden Wert von x einen Funktionswert

von diesem Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{4} (-1)^{k+1}*(x)^k \end{eqnarray*}$

betrachtet man nur

$\begin{eqnarray*} (-1)^{k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | r | \leq \lim_{k \to \infty } \frac{(-1)^{k+1} }{(-1)^{(k+1)+1} } \end{eqnarray*}$

20.08.2017, 19:04

Ms20

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RE: Taylor Polynom und Restglied

Zitat:

Zitat: Original von ms20 $\begin{eqnarray*} \frac{(x)^{5}}{(\xi+1)^6} \end{eqnarray*}$ Jetzt braucht man noch einen Wert für das xi

Was ist den Xi ? Xi ist doch irgendeine Zahl zwischen 0 und x das weiß man doch nicht verwirrt

verwirrt

Zitat:

Bei der Frage nach dem Konvergenzradius von x betrachtet man das unendliche Taylor Polynom Bei einem endlichen Taylor Polynom gibt es für jeden Wert von x einen Funktionswert von diesem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{4} (-1)^{k+1}*(x)^k \end{eqnarray*}$ betrachtet man nur $\begin{eqnarray*} (-1)^{k+1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | r | \leq \lim_{k \to \infty } \frac{(-1)^{k+1} }{(-1)^{(k+1)+1} } \end{eqnarray*}$

Du sagst für Den Konvergenzradius betrachtet man das Unendliche Taylorpolynom und wir wollen doch nun wissen
Für welche x das Taylorpolynom Konvergiert .. müssen wir nicht das Taylorpolynom bis n betrachten ?

Ich verstehe auch nicht wieso du dann (-1)^(k+1) betrachtest? Berechnest du nun den Konvergenzradius mittels quotintenkriterium ?

Und wenn ja wieso betrachten wir das Taylorpolynom nicht bis n ?
Ich dachte wenn das restglied gegen null geht Konvergiert das Taylorpolynom..

20.08.2017, 20:15

xb

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RE: Taylor Polynom und Restglied

Zitat:

Original von Ms20
Was ist den Xi ? Xi ist doch irgendeine Zahl zwischen 0 und x das weiß man doch nicht ?

Das stimmt das weiß man nicht.Das hängt auch vom Intervall ab,das man betrachtet

Zitat:

Original von Ms20
müssen wir nicht das Taylorpolynom bis n betrachten ?

Wenn n ein endlicher Wert ist,dann macht eine Konvergenz keinen Sinn
Weil jeder Wert von x führt zu dann einem endlichen Ergebnis

Zitat:

Original von Ms20
Ich verstehe auch nicht wieso du dann (-1)^(k+1) betrachtest? Berechnest du nun den Konvergenzradius mittels quotintenkriterium ?

Ja das ist das Quotintenkriterium

Zitat:

Original von Ms20
Ich dachte wenn das restglied gegen null geht Konvergiert das Taylorpolynom..

Das Restglied ist dann aber $\begin{eqnarray*} R_{n} (0,x) \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich

20.08.2017, 21:11

ms20

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RE: Taylor Polynom und Restglied
Ich verstehe glaube ich etwas mehr Big Laugh

Big Laugh

Also wenn wir bis n=4 haben betrachten wir dann an := (-1)^k+1 und berechnen den Konvergenzradius für diese x Konvergiert dann die Reihe also genauer gesagt haben wir dann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{4} (-1)^{k+1} *x^k \end{eqnarray*}$

und man berechnet davon dann den Konvergenzradius der ist dann -1 verwirrt

verwirrt

müssten wir nicht den Quotient in Betrag setzen ? Weil wenn wir den in Betrag setzen kommt R=1 raus ..

und meine nächste frage wäre

müsste ich nicht eigentlich das Taylorpolynom für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} *x^k \end{eqnarray*}$ betrachten ?

oder sogar $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (-1)^{k+1} *x^k \end{eqnarray*}$ ?

Meine nächste frage wie müsste ich das machenn mit dem Restglied wenn es das Restglied Rn(x,0)
wäre ? und was wäre eigentlich Rn(x,0) ? ist mir ein Rätsel...

20.08.2017, 22:02

xb

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RE: Taylor Polynom und Restglied
Ja genau das

$\begin{eqnarray*} s= \sum\limits_{k=1}^{\infty } (-1)^{k+1} *x^k \end{eqnarray*}$

Wenn x innerhalb des Konvergenzradius liegt ist s endlich

Zitat:

Original von ms20
müssten wir nicht den Quotient in Betrag setzen ?

Ja stimmt.Dann kommt vorläufig raus
$\begin{eqnarray*} | r | \leq 1 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} -1\leq r \leq 1 \end{eqnarray*}$
Jetzt muss man sich noch überlegen ob die Gleichheitszeichen gelten

Konvergenzkriterium mit dem Restglied

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } R_{n}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(x)^{n}}{(\xi+1)^{n+1}} =0 \end{eqnarray*}$

Es muss aber klar sein,dass es sehr schwer werden kann $\begin{eqnarray*} R_{n} \end{eqnarray*}$ zu berechnen
deshalb ist das Quotientenkriterium besser

20.08.2017, 22:43

Ms20

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RE: Taylor Polynom und Restglied

Zitat:

Ja genau das $\begin{eqnarray*} s= \sum\limits_{k=1}^{\infty } (-1)^{k+1} *x^k \end{eqnarray*}$ Wenn x innerhalb des Konvergenzradius liegt ist s endlich

Du sagst zwar das wir den Konvergenzradius davon berechnen
Aber davor hast du geschrieben

Zitat:

von diesem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{4} (-1)^{k+1}*(x)^k \end{eqnarray*}$ betrachtet man nur $\begin{eqnarray*} (-1)^{k+1} \end{eqnarray*}$

Also was nun verwirrt

verwirrt

Und ich kenne das so hat man den Konvergenzradius dann Konvergiert die Reihe für

|x-x0| < R

Also für |x| < 1
Daraus würde folgen (-1,1)

Stimmt das ?..

Zitat:

Ja stimmt.Dann kommt vorläufig raus $\begin{eqnarray*} | r | \leq 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -1\leq r \leq 1 \end{eqnarray*}$ Jetzt muss man sich noch überlegen ob die Gleichheitszeichen gelten

Wie macht man das ?

Wie hast du Rn berechnet?

20.08.2017, 23:30

xb

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RE: Taylor Polynom und Restglied
Die Taylor Reihe hat folgende Form

$\begin{eqnarray*} s=\sum\limits_{n=0}^{\infty } a_{n} x^{n} \end{eqnarray*}$

und für das Quotientenkriterium nimmt man das $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty } |\frac{a_{n+1} }{a_{n} } | \end{eqnarray*}$

Ich hatte das umgekehrt geschrieben.Das geht doch auch. Oder?

$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty } |\frac{a_{n} }{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Ms20
Also für |x| < 1
Daraus würde folgen (-1,1)

Das stimmt

Zitat:

Ja stimmt.Dann kommt vorläufig raus $\begin{eqnarray*} | r | \leq 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -1\leq r \leq 1 \end{eqnarray*}$ Jetzt muss man sich noch überlegen ob die Gleichheitszeichen gelten

Wie macht man das ?

Mal nachdenken

Hier in der Aufgabe gehört -1 nicht zum Definitionsbereich

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^2}{x+x^2} =\frac{x}{1+x} \end{eqnarray*}$

und 1?
s=1-1+1-1+1-1 auch kein Grenzwert erkennbar

Zitat:

Original von Ms20
Wie hast du Rn berechnet?

Damit
$\begin{eqnarray*} R_{n} (0,x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} \end{eqnarray*}$

Nach 4 Ableitungen kann man doch ein Schema erkennen

21.08.2017, 00:09

Ms20

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RE: Taylor Polynom und Restglied
Nein das Quotienten Kriterium

Ist :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } sup | \frac{a_{n+1} }{a_{n} }| \end{eqnarray*}$

Und es ist nicht egal ob man den kehrwert nimmt oder so wie ich es geschrieben habe.
Das mit dem Kehrwert ist eine Folgerung für den Konvergenzradius denn wenn alle an ungleich 0 sind
Und
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n} }{a_{n+1} }| \end{eqnarray*}$

Konvergiert oder uneigentlich Divergiert gegen +unendlich so ist

R = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } inf | \frac{a_{n} }{a_{n+1} }|\in [0,\infty ] \end{eqnarray*}$

Und das wiederum kommt zustande wegen :

Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } sup | \frac{a_{n+1} }{a_{n} }| =a \end{eqnarray*}$

Dann gilt R= { unendlich , wenn a=0

1/a , wenn a element (0, unendlich)
0 , falls a= unendlich

Und da wir in unserem Quotientenkriterium nur Nichtnegative zahlen haben
Werden wir offensichtlich den fall 1/a haben und daher nimmt man den Kehrwert...

21.08.2017, 08:28

xb

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Dann wäre

$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | } \neq \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n} }{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$

Das muss man erst mal zeigen,dass das so ist

21.08.2017, 10:38

Ms20

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Dann wäre

$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | } \neq \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n} }{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$

Das muss man erst mal zeigen,dass das so ist

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ( | \frac{a_{n+1} }{a_{n} }| )^{-1} \end{eqnarray*}$

Und daraus folgt ja die Umkehrung

24.08.2017, 15:37

ms20

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Hey Leute stimmt denn das jetzt was hier geschrieben wurde ?

24.08.2017, 18:54

xb

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Zitat:

Original von ms20
Hey Leute stimmt denn das jetzt was hier geschrieben wurde ?

Also das
$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | } \neq \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n} }{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$

stimmt mit Sicherheit nicht

Richtig ist
$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | } = \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n} }{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$

Und dazu kann man nicht viel sagen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ( | \frac{a_{n+1} }{a_{n} }| )^{-1} \end{eqnarray*}$

da müsste man wissen was rauskommt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ( | \frac{a_{n+1} }{a_{n} }| )^{-1}=\, ? \end{eqnarray*}$

24.08.2017, 19:02

ms20

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DU hast doch geschrieben

Zitat:

Dann wäre $\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | } \neq \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n} }{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$ Das muss man erst mal zeigen,dass das so ist

24.08.2017, 19:20

xb

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Zitat:

Original von ms20
DU hast doch geschrieben

Zitat:

Dann wäre $\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | } \neq \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n} }{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$ Das muss man erst mal zeigen,dass das so ist

Meistens findet man für R diese Berechnung

$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | } \end{eqnarray*}$

Ich hatte R so berechnet
$\begin{eqnarray*} R=\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n} }{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$

Da hast du geschrieben,dass es nicht egal ist den Kehrwert zu nehmen
Zumindest hatte ich das so verstanden und darauf hatte ich geschrieben,dass man das zeigen muss,dass das nicht geht

Zitat:

Dann wäre $\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | } \neq \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n} }{a_{n+1} } | \end{eqnarray*}$ Das muss man erst mal zeigen,dass das so ist

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