Fluss eines Vektorfeldes

19.08.2017, 16:34

cedi_123

Fluss eines Vektorfeldes

Meine Frage:
Guten Morgen liebe Gemeinde!

Ich habe folgende Aufgabe, für die ich verzweifelt einen Ansatz suche...

Gegeben ist die Parametrisierung

$\begin{eqnarray*} X(u,v) = \begin{pmatrix} u*cos(v) \\ u*sin(v) \\ u \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\le u \le1, 0\le v \le2\pi \end{eqnarray*}$ einer Fläche F.

Bestimmen Sie das Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen und berechnen Sie den Fluss $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ des Vektorfelds $\begin{eqnarray*} V(x,y,z) = [0, 0, 1]^T \end{eqnarray*}$ durch F von unten nach oben.

Meine Ideen:
Welchen Ansatz nutzt man da? Das Kreuzprodukt habe ich bestimmt, das ist ja kein Problem, aber wie geht es dann weiter? Normal dachte ich immer an den Gaußschen Integralsatz, wenn es um einen Fluss geht, aber irgendwie erschließt sich mir hier nicht, wie dieser hier Anwendung finden soll.

Wäre sehr dankbar über eure Hilfe!

19.08.2017, 19:37

Huggy

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RE: Fluss eines Vektorfeldes

Zitat:

Original von cedi_123
Das Kreuzprodukt habe ich bestimmt, das ist ja kein Problem, aber wie geht es dann weiter? Normal dachte ich immer an den Gaußschen Integralsatz!

Der Gaußsche Integralsatz erfordert eine geschlossene Fläche. Die gegebene Fläche ist nicht geschlossen. Die vorherige Berechnung des Kreuzproduktes der partiellen Ableitungen deutet auch darauf hin, dass hier die direkte Berechnung des Flusses durch das Oberflächenintegral gemeint ist. Mit den Bezeichnungen deiner Aufgabe berechnet man es so:

$\begin{eqnarray*} \Phi=\iint V(X(u,v))\cdot(X_u \times X_v)dudv \end{eqnarray*}$

Die Integrationsgrenzen musst du noch hinzuschreiben.

21.08.2017, 09:22

Ehos

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Gegeben ist die Mantelfläche eines Kegels mit der Höhe h=1 und Radius r=1. Der Kegel steht senkrecht auf seiner Spitze, welche sich um Ursprung (0|0|0) befindet. Durch diese Mantelfläche fließt ein Medium mit der Stromdichte $\begin{eqnarray*} \vec j=(0|0|1) \end{eqnarray*}$ . Die Flussrichtung des Mediums zeigt also in z-Richtung "von unten nach oben". Die Stromdichte hat die Dimension $\begin{eqnarray*} \tfrac{kg}{m^2\cdot s} \end{eqnarray*}$ . Zu berechnen ist der Fluss, also die Menge in $\begin{eqnarray*} \tfrac{kg}{s} \end{eqnarray*}$ , welche durch die Mantelfläche fließt.

Da die Stromdichte örtlich konstant ist, ist der gesuchte Fluss durch die Mantelfläche identisch mit dem Fluss durch die kreisförmige Deckfläche des Kegels. Da diese Deckfläche senkrecht durchströmt wird, gilt einfach

$\begin{eqnarray*} \text{Fluss=Kreisfläche}\cdot \underbrace{\text{Betrag der Stromdichte}}_{=1} \end{eqnarray*}$

Die Kreisfläche mit dem Radius r=1 wirst du berechnen können. Man kommt also ohne Integrale aus.

21.08.2017, 09:32

Huggy

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Zitat:

Original von Ehos
Man kommt also ohne Integrale aus.

Sehr richtig!
Allerdings scheint mir die Intention der Aufgabe zu sein, die Berechnung von Oberflächenintegralen zu üben. Die einfache Berechnung ohne Integral kann dann der Kontrolle des Ergebnisses dienen.

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