Abschätzung bei Epsilon-Delta-Stetigkeit

21.08.2017, 10:37

Bfury

Abschätzung bei Epsilon-Delta-Stetigkeit

Hallo,

ich habe mich folgendes gefragt. Nehmen wir an, wir wollten zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt(1+x^2) \end{eqnarray*}$ stetig ist auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Also wie üblich:

$\begin{eqnarray*} | \sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+x_0^2} | = \left | \frac{x^2-x_0^2}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+x_0^2}} \right | = \left | \frac{(x-x_0)(x+x_0)}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+x_0^2}} \right | \le \left | \frac{(x-x_0)(x+x_0)}{\sqrt{1+x_0^2}} \right | =\frac{ | x-x_0 | | x+x_0 | }{ | \sqrt{1+x_0^2} | } \le \frac{ \delta | x+x_0 | }{ | \sqrt{1+x_0^2} | } \end{eqnarray*}$

so, hier würde es dann weitergehen mit der addition einer "pseudo-null" und entsprechender weiterer kleiner schritte.

Meine eigentliche frage ist nun, warum darf ich im letzten Schritt meiner Ungleichung nicht einfach sagen

$\begin{eqnarray*} \frac{ \delta | x+x_0 | }{ | \sqrt{1+x_0^2} | } \le \delta | x+x_0 | \end{eqnarray*}$

und dann entsprechend weitermachen. oder darf ich das sogar?

bisher ging ich davon aus, dass ich den bruch nicht einfach so grob abschätzen darf, allerdings fiel mir auch kein gegenargument ein.

würde mich über hilfe sehr freuen!

danke

21.08.2017, 10:55

klarsoweit

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RE: Frage zur Abschätzung bei Epsilon-Delta-Steigkeit

Zitat:

Original von Bfury
Meine eigentliche frage ist nun, warum darf ich im letzten Schritt meiner Ungleichung nicht einfach sagen

$\begin{eqnarray*} \frac{ \delta | x+x_0 | }{ | \sqrt{1+x_0^2} | } \le \delta | x+x_0 | \end{eqnarray*}$

und dann entsprechend weitermachen. oder darf ich das sogar?

Also ich sehe nichts, was dagegen spricht.

21.08.2017, 11:06

Bfury

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Hallo klarsoweit,

Danke dir für die schnelle Rückmeldung. Wink

21.08.2017, 12:56

IfindU

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Sollst du denn wirklich nur Stetigkeit zeigen, und nicht sogar gleichmäßige Stetigkeit?

21.08.2017, 13:01

Bfury

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Es ging um die punktweise Stetigkeit und eigentlich nur im die von mir genannte letzte Abschätzung mit dem Nenner. Die Funktion ist auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ doch garnicht gleichmäßig stetig, oder? In meiner Abschätzung hängt mein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zumindest auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ immer von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ab.

21.08.2017, 13:31

IfindU

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In deinen Abschätzungen schon. Aber die Funktion ist sogar Lipschitz-stetig. Die Funktion ist für betragsgroße $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ja etwa $\begin{eqnarray*} \sqrt { 1 + x^2} \approx |x| \end{eqnarray*}$ . Und die Betragsfunktion ist gleichmäßig stetig.

21.08.2017, 14:00

Bfury

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Stimmt! Hab mir eben den Graph angeschaut. Könnte ich mit geeigneten Abschätzungen mit Hilfe des Epsilon-Delta Kriteriums die gleichmäßige Stetigkeit für diese Funktion ebenfalls nachweisen ?

21.08.2017, 14:07

IfindU

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RE: Abschätzung bei Epsilon-Delta-Stetigkeit
Startend bei $\begin{eqnarray*} \frac{ \delta | x+x_0 | }{ | \sqrt{1+x_0^2} | } \end{eqnarray*}$ kann man mit dem üblichen Trick $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ loswerden: $\begin{eqnarray*} x= x - x_0 + x_0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} |x| \leq \delta + |x_0| \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} \frac{ \delta | x+x_0 | }{ | \sqrt{1+x_0^2} | } \leq \frac{ \delta (\delta + |x_0|) }{ \sqrt{1+x_0^2} } = \frac{ \delta^2 }{ \sqrt{1+x_0^2} } + \delta\frac{ |x_0| }{ \sqrt{1+x_0^2} } \end{eqnarray*}$ .

Die Abschätzung für den ersten Term hast du selbst vorgeschlagen. Wenn man zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} \frac{ |x_0| }{ \sqrt{1+x_0^2} } \leq C \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist, so kann man den ganzen Term abschätzen gegen $\begin{eqnarray*} (1 + C)\delta \end{eqnarray*}$ , wobei (oBdA) $\begin{eqnarray*} \delta \leq 1 \end{eqnarray*}$ damit $\begin{eqnarray*} \delta^2 \leq \delta \end{eqnarray*}$ .

21.08.2017, 14:15

HAL 9000

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Ich würde einen Schritt eher einsteigen: Oben lag bereits

$\begin{align*} \left| \sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+x_0^2} \right| = |x-x_0| \cdot \frac{|x+x_0|}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+x_0^2}} \qquad (*) \end{align*}$

vor. Nun ist im Zähler $\begin{align*} |x+x_0|\leq |x|+|x_0| \end{align*}$ , zudem ist $\begin{align*} |x|<\sqrt{1+x^2} \end{align*}$ und $\begin{align*} |x_0|<\sqrt{1+x_0^2} \end{align*}$ offenkundig. Damit kann man sofort (*) fortsetzen zu

$\begin{align*} \left| \sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+x_0^2} \right| \leq |x-x_0| \end{align*}$ ,

also Lipschitzstetig mit Konstante L=1.

21.08.2017, 14:39

IfindU

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Zu meiner Verteidigung:

Ich brauche nur doppelt so viel Aufwand für eine doppelt so große Lipschitzkonstante Forum Kloppe

21.08.2017, 14:49

HAL 9000

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Sagen wir's so: Nimmt man die erste Abschätzung als vom Threadersteller gegeben hin, ist man bereits in schwierigerem Terrain. Was allerdings Möglichkeiten bietet, mehr von den Techniken zu vermitteln, die generell bei solchen Abschätzungen hilfreich sind.

In der Hinsicht kann die "Kurzversion" nicht viel Lehrreiches bieten. Augenzwinkern

22.08.2017, 03:58

Bfury

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Ah, das ist sehr gut. Danke Euch beiden für die Vorschläge. Das war sehr hilfreich Freude

Eine Frage hätte ich noch zu

$\begin{eqnarray*} |x|<\sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$

gilt das wegen

$\begin{eqnarray*} |x| = \sqrt{x^2} < \sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$ ?

LG

22.08.2017, 05:42

IfindU

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