Logarithmus-Rechenregeln und Mittelwertsatz (Klausuraufgabe)

22.08.2017, 16:49

dubbox

Logarithmus-Rechenregeln und Mittelwertsatz (Klausuraufgabe)

Meine Frage:
Ich bin grade in den Klausurvorbereitungen und rechne Altklausuren und bin auf diese Aufgabe gestoßen und irgendwie stehe ich auf dem Schlauch, leider haben wir keine Lösungen zu den Altklausuren.

Zeigen Sie: Für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<x<y \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} 1-\frac x y \leq ln(\frac y x) \leq \frac y x -1 \end{eqnarray*}$

Hinweis: Logarithmus-Rechenregeln und Mittelwertsatz

Meine Ideen:
Also zu den Rechenregeln für den Logarithmus, hier wird ja wohl nur

$\begin{eqnarray*} ln(\frac x y) = ln(x)-ln(y) \end{eqnarray*}$

greifen, dies gilt ja da $\begin{eqnarray*} x,y > 0 \end{eqnarray*}$

Also forme ich erstmal den Term zu folgendem um

$\begin{eqnarray*} 1-\frac x y \leq ln(y)-ln(x) \leq \frac y x -1 \end{eqnarray*}$

Nur wie soll mir jetzt hier der MWS weiterhelfen? Also $\begin{eqnarray*} f(b)-f(a)=f(\xi)(b-a) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz wäre hier wohl eher abzuschätzen, also

$\begin{eqnarray*} 0<x<y \Rightarrow \frac x y < 1 \Rightarrow 0<1-\frac x y<1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<x<y \Rightarrow \frac y x > 1 \Rightarrow 0<\frac y x \end{eqnarray*}$

Naja aber wirklich was bringen tut mir das jetzt auch nicht, zumindest sehe ich hier nichts. Also komme ich nicht so richtig um den MWS herum Big Laugh

deswegen bitte ich um hilfe. Das Problem ist ich hab den MWS zwar begrenz anwenden können, aber den wirklichen Sinn dahinter nicht verstanden, dafür kam er nur zu beiläufig bei uns zur anwendung.

22.08.2017, 17:29

IfindU

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RE: Logarithmus-Rechenregeln und Mittelwertsatz (Klausuraufgabe)

Zitat:

Original von dubbox
Nur wie soll mir jetzt hier der MWS weiterhelfen? Also $\begin{eqnarray*} f(b)-f(a)=f(\xi)(b-a) \end{eqnarray*}$

Es muss $\begin{eqnarray*} f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) \end{eqnarray*}$ heissen, für ein $\begin{eqnarray*} a < \xi < b \end{eqnarray*}$ . Und offenbar ist die `richtige' Wahl hier $\begin{eqnarray*} f(x) = \log x \end{eqnarray*}$ . Insbesondere wenn du die äußeren Terme der Ungleichung auf einem Bruch bringst, und $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ mal berechnest, sieht man die Ähnlichkeit zum MWS.

23.08.2017, 07:44

dubbox

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Oh das mit der Ableitung habe ich irgendwie überlesen -.-

Okay also

$\begin{eqnarray*} 1-\frac x y = \frac {y-x} y \leq ln(\frac y x) \leq \frac y x -1 = \frac {y-x} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\frac {y-x} y \leq ln(y)-ln(x) \leq \frac {y-x} x \end{eqnarray*}$

Jetzt MWS anwenden auf

$\begin{eqnarray*} ln(y)-ln(x) = \frac 1 {\xi}(y-x) = \frac {y-x}{\xi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\frac {y-x} y \leq \frac {y-x}{\xi} \leq \frac {y-x} x \end{eqnarray*}$

Da jetzt laut MWS $\begin{eqnarray*} \xi \in (x,y) \end{eqnarray*}$ liegt und somit gilt $\begin{eqnarray*} x<\xi<y \end{eqnarray*}$ folgt daraus direkt die Korrektheit der Ungleichung.
Aber wieso hier kleiner Gleich und nicht echt kleiner? Da ja $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ so wie ich es verstehe eben $\begin{eqnarray*} \xi \in (x,y) \neq \xi \in \left[x,y\right] \Rightarrow x<\xi<y \Rightarrow \frac {y-x} y < \frac {y-x}{\xi} < \frac {y-x} x \end{eqnarray*}$ da ja auch gilt $\begin{eqnarray*} 0<x<y \end{eqnarray*}$
Oder was übersehe ich?

Aber ganz vielen Dank für die gute Antwort! War sehr hilfreich, jetzt verstehe ich auch warum das ding MITTELwertsatz heißt Big Laugh

23.08.2017, 12:18

IfindU

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Passt. Und du übersiehst nichts. Aber in der schwächeren Formulierung wie in der Aufgabe ist die Aussage richtig, auch wenn man $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ wählt. Mit einer weiteren Rechnung/Überlegung sieht man auch, dass sie richtig ist, falls $\begin{eqnarray*} 0 < y < x \end{eqnarray*}$ und damit gilt die Ungleichung sogar für alle $\begin{eqnarray*} x, y > 0 \end{eqnarray*}$ .

Die Annahme $\begin{eqnarray*} x < y \end{eqnarray*}$ war also nicht wirklich nötig.

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