Krümmungsradius

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Maha Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmungsradius
Meine Frage:
Hallo alle zusammen.

Ich soll den Krümmungsradius von der Normalparabel y=x^2 im Scheitel berechnen.

Meine Ideen:
Also für die Krümmung haben wir Folgende Formel(kartesich):



und der Scheitel von der Normalparabel liegt im Punkt x0=0 (Globales Minimum).

Also habe ich :



und jetzt mache ich etwas wo ich mir unsicher bin.
ich soll ja den Krümmungradius im scheitel berechnen da der scheitel in x=0 liegt habe ich mir überlegt ich setze für x=0 ein also habe ich dann für die Krümmung k=2

k>0 Also habe ich eine Linkskrümmung und bzw Konvex. (was ich allerdings nicht so gut verstehe denn die normalparabel hat doch auch eine rechtskrümmung wenn wir vom scheitelpunkt aus gesehen nach Links "laufen" ?)

ich hätte dann aber als den Krümmungsradius 1/2 raus stimmt das dann auch ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maha
was ich allerdings nicht so gut verstehe denn die normalparabel hat doch auch eine rechtskrümmung wenn wir vom scheitelpunkt aus gesehen nach Links "laufen" ?)

Wo siehst du hier denn eine derart qualitative Veränderung des Krümmungsverhaltens? Sowas gibt es nur bei Wendepunkten, bei der quadratischen Parabel hier nicht.

Zitat:
Original von Maha
ich hätte dann aber als den Krümmungsradius 1/2 raus stimmt das dann auch ?

Überprüfen wir es auch mal "optisch":



Sieht gut aus. Augenzwinkern
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Wow Danke Hal9000 Freude

Wie kann ich an der Grafik sehen das die Krümmung 2 ist? Geht das ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab bewusst von "optische (Veranschaulichung)" gesprochen, nicht von "Beweis" - man kann mit Bildern auch viel tricksen. Hier habe ich es aber ehrlich gemeint, man sollte nur bildlich erfahren können, dass der grüne Kreis sich lokal in der Nähe des Nullpunkts viel besser an die Parabel anschmiegt als die Tangente (welches ja dort die x-Achse ist).

Der Beweis ist die exakt durchgeführte Rechnung von dir.
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe ok danke smile

Hal ich habe wieder eine kleine Aufgabe aber ich verstehe das nicht so.

Die Aufgabe: Wo hat y=ln x einen Scheitel ? Wie Groß ist dort der Krümmungsradius ?

Mein Problem ist ln x hat gar keinen Scheitel verwirrt

Scheitel wird bei uns Definiert als :

Ein Punkt extremaler Krümmung, in dem die Krümmung ein Lokales Maximum oder Minimum annimmt heißt scheitel.


ln (x) hat aber kein Lokales Maximum und Minimum weil die erste Ableitung für kein x 0 wird geschockt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maha
Mein Problem ist ln x hat gar keinen Scheitel verwirrt

Und zu dieser zweifelhaften Erkenntnis kommst du wie? Hast du das so berechnet?

Zitat:
Original von Maha
ln (x) hat aber kein Lokales Maximum und Minimum weil die erste Ableitung für kein x 0 wird geschockt

Hast wohl etwas den Überblick verloren: Nicht muss das haben, sondern das zu gehörende , s.o. dein erster Threadbeitrag.
 
 
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

ja wenn ln x einen Scheitel hätte dann müsste es doch ein Extremum geben aber es gibt keins.
Die Ableitung von ln x = 1/x und 1/x hat keine nullstellen und somit auch kein Lokales Minimum oder Maximum
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Lies dir meine Ergänzung durch. Augenzwinkern

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Noch kurz dazu:

Zitat:
Original von Maha
Wow Danke Hal9000 Freude

Wie kann ich an der Grafik sehen das die Krümmung 2 ist? Geht das ?


Der Krümmungsradius ist der Kehrwert der Krümmung.



mY+
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Achso die Krümmung muss einen Lokalen Maximum oder Minimum haben.. dann ist ein scheitel gegeben.

Also ln(x) hat bei 1 einen Scheitel aber wie kann ich zeigen das wirklich bei x=1 ein Scheitel vorliegt verwirrt

Die Krümmung wäre

= <0

also hätten wir eine Rechtskrümmung.

Stimmt die Krümmung soweit ?

Der Krümmungsradius wäre dann :

2^3/2

stimmt das ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maha
Also ln(x) hat bei 1 einen Scheitel

Die Rechnung müssen wir wohl nochmal durchgehen, denn tatsächlich liegt der Scheitel bei und zugehörigem Funktionswert .
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Krümmung :



und ich wollte diese krümmungsfunktion nach Lokalen Extrempunkten untersuchen.

also erste Ableitung und dann null setzen und in die 2 Ableitung.. ist der Gedanke richtig ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wobei wir uns das mit der zweiten Ableitung nicht unbedingt antun müssen (aber Ok, sicher ist sicher).
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Als Ableitung habe ich :



und nun null setzen



=

eine frage warum muss man das mit der 2.Ableitung nicht machen? verwirrt
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

achso wegen dem vorzeichenwechsel
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir betrachten hier (etwas vereinfacht geschrieben) für .

Es ist leicht zu erkennen für alle . Wegen sowie der stetigen Differenzierbarkeit der Funktion k(x) muss es dazwischen ein Minimum geben. Da der einzige Kandidat dafür ist, muss das auch die Stelle sein.

Aber du kannst dich sicherheitshalber auch nochmal davon selbst überzeugen durch Ausrechnen von .
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

und diesen Punkt einfach in die Krümmungsfunktion einsetzen dann haben wir die Krümmung an diesem Punkt und für den Krümmungsradius den Kehrwert nehmen oder ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Genaugenommen den Kehrwert des Betrages, denn der Krümmungsradius ist ja immer positiv.
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Hal9000 kann ich auch es damit begründen das k'(x) >0 ist für (0, ) und k'(x)<0 ist für ( , )
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, geht natürlich auch.

EDIT: Ähem, ist natürlich gerade andersherum: k'(x)<0 vorn und k'(x)>0 hinten.
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

achso ich dachte das wäre ein Maximum. Wie kann ich das denn genau unterscheiden ?
bis wohin geht die Krümmung denn damit ich entscheiden kann ob ein Maximum oder Minimum vorliegt..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ein Minimum von , aber da wir uns ausschließlich im Negativen bewegen bedeutet das zugleich ein Maximum von - vielleicht klärt das deine Verwirrung.
maha Auf diesen Beitrag antworten »

emhh Hal9000 macht es eigentlich nur Sinn die Krümmung im Scheitel zu Berechnen oder warum wird es immer im Scheitel berechnet ? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, man kann die Krümmung überall berechnen. Aber solche Extremstellen sind natürlich besonders interessant: Z.B. bei Straßenführungen treten an Stellen mit der (betragsmäßig) größten Krümmung die größten seitlichen Querkräfte beim befahren auf (gleiche Geschwindigkeit vorausgesetzt).
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für alles Hal9000 smile
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