Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten

27.08.2017, 03:59

Pauline21

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Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten

Guten Morgen,

da ich nicht schlafen kann und ich noch eine anstehende Prüfung vor mir habe wollte ich Euch eine Aufgabe zeigen, an der ich noch ein wenig hänge.
Der Anfang ist eig soweit klar, man versucht die gegebene Funktion zu zeichnen und konstruiert die zu der Funktion existierende Reihendarstellung.

Schon gestern habe ich nicht verstanden, wie wir die Fouriertransformierte genau bilden. Wir benutzen jetzt eigentlich die Reihendarstellung unserer Funktion $\begin{eqnarray*} u(t) \end{eqnarray*}$ nämlich $\begin{eqnarray*} \cos \left( \frac{2 \pi t}{T_0} \right) \end{eqnarray*}$ und zwar in der Eulerform und wollen dann die Fouriertransformierte bilden?

Aber ich verstehe dann leider nicht ganz die Integration auf Seite 2. Zumal doch noch der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ verlorengegangen scheint?

Habt Ihr da eventuell eine Erklärung für, denn ich verzweifle dran.

Grüße und dankeschön,

Pauline

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27.08.2017, 10:20

xb

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Auf den ersten Blick eine ungewöhnliche Aufgabe
denn die ist mit

$\begin{eqnarray*} u(x)=cos^{2} (\frac{\pi t}{T_0})= \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cos(1\cdot\frac{ 2\pi }{T_0}\cdot t ) \end{eqnarray*}$

praktisch gelöst

27.08.2017, 11:25

Pauline21

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Guten Morgen,

herzlichen Dank für das Antworten.

Zitat:

Original von xb
$\begin{eqnarray*} u(x)=cos^{2} (\frac{\pi t}{T_0})= \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cos(1\cdot\frac{ 2\pi }{T_0}\cdot t ) \end{eqnarray*}$

praktisch gelöst

$\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ ? Und praktisch gelöst? Das kann ich zur Zeit noch nicht nachvollziehen. Wie ist das denn gemeint?

Grüße

Pauline

27.08.2017, 12:44

xb

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Zitat:

Original von Pauline21
$\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ ? Und praktisch gelöst? Das kann ich zur Zeit noch nicht nachvollziehen. Wie ist das denn gemeint?

Ich habe mir die Aufgabe nochmal durchgelesen und die ist doch anders
als ich gedacht hatte

27.08.2017, 13:17

Pauline21

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Hallo,

ja manchmal sind Matheaufgaben wie ein gutes Buch, man muss sie zweimal oder dreimal lesen um sie ganz verstanden zu haben. Wie kann ich aber meine Unklarheiten beseitigen?? Ich sitze schon längere Zeit daran.

Grüße

Pauline

27.08.2017, 17:26

xb

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Zitat:

Original von Pauline21
Schon gestern habe ich nicht verstanden, wie wir die Fouriertransformierte genau bilden. Wir benutzen jetzt eigentlich die Reihendarstellung unserer Funktion $\begin{eqnarray*} u(t) \end{eqnarray*}$ nämlich $\begin{eqnarray*} \cos \left( \frac{2 \pi t}{T_0} \right) \end{eqnarray*}$ und zwar in der Eulerform und wollen dann die Fouriertransformierte bilden?

Nicht unbedingt
Anstelle der Funktion in Eulerform könnte man an auch schreiben
$\begin{eqnarray*} e^{-i2\pi ft } =cos(2\pi ft )-i\sin(2\pi ft ) \end{eqnarray*}$

und dann
$\begin{eqnarray*} F(f)=\int_{ -\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} \! (\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}cos(\frac{2\pi }{T_0} t ))(cos(2\pi ft )-i\sin(2\pi ft ) ) \, dt \end{eqnarray*}$

Ziemlich umfangreich. Aber vieles wird auch zu Null.
Man kann nicht mehr so einfach integrieren.
Dafür scheint es mir übersichtlicher als die rein komplexen Rechnungen.

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27.08.2017, 18:43

Pauline21

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Zitat:

Original von xb
Nicht unbedingt
Anstelle der Funktion in Eulerform könnte man an auch schreiben
$\begin{eqnarray*} e^{-i2\pi ft } =cos(2\pi ft )-i\sin(2\pi ft ) \end{eqnarray*}$

und dann
$\begin{eqnarray*} F(f)=\int_{ -\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} \! (\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}cos(\frac{2\pi }{T_0} t ))(cos(2\pi ft )-i\sin(2\pi ft ) ) \, dt \end{eqnarray*}$

Ja das hatte ich auch überlegt. Das sollte mit partieller Integration und wie erwähnt der Ausnutzung der Symmetrie einer ungeraden Funktion über das symmetrische Integrationsintervall machbar sein.

Ich probier's gleich mal, jedenfalls ist mir noch das weitere Vorgehen unklar.

Es muss zuletzt Scheitelwert $\begin{eqnarray*} \hat{s_k} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} s_0 \end{eqnarray*}$ und Phasenwinkel $\begin{eqnarray*} \varphi_k \end{eqnarray*}$ bestimmt werden. Das kann ich noch nicht lösen.

Grüße

Pauline

28.08.2017, 10:45

Steffen Bühler

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RE: Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten

Zitat:

Original von Pauline21
Aber ich verstehe dann leider nicht ganz die Integration auf Seite 2. Zumal doch noch der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ verlorengegangen scheint?

Was genau verstehst Du denn nicht? Die Ursprungsfunktion $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ wurde doch nur mit e-Funktionen ausgedrückt und dann in die Fourierformel $\begin{eqnarray*} F(f)=\int_{- \frac {T_0}2}^{+ \frac {T_0}2} f(t) \cdot e^{-j 2 \pi \cdot f \cdot t} dt \end{eqnarray*}$ gesteckt, die ebenfalls mit der e-Funktion geschrieben wurde. Dadurch vereinfacht sich das Integrieren erheblich. Und wo soll denn der Faktor verlorengehen?

Viele Grüße
Steffen

28.08.2017, 15:57

Pauline21

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RE: Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Was genau verstehst Du denn nicht? $\begin{eqnarray*} F(f)=\int_{- \frac {T_0}2}^{+ \frac {T_0}2} f(t) \cdot e^{-j 2 \pi \cdot f \cdot t} dt \end{eqnarray*}$ gesteckt, die ebenfalls mit der e-Funktion geschrieben wurde. Dadurch vereinfacht sich das Integrieren erheblich. Und wo soll denn der Faktor verlorengehen?

Ja die Formel für die Fouriertransformierte ist ja:
$\begin{eqnarray*} F(f)=\int_{- \frac {T_0}2}^{+ \frac {T_0}2} f(t) \cdot e^{-j 2 \pi \cdot f \cdot t} dt \end{eqnarray*}$ und wenn wir doch jetzt die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ bzw. in unserem Fall $\begin{eqnarray*} u(t) \end{eqnarray*}$ dort einsetzen, erhalten wir doch nicht den Term in der Lösung verwirrt

verwirrt

?

Okay ich nehme meine Aussage zurück ich hatte mich verrechnet. Wenn ich jedoch weitergehe und die Integration weiter ausführe und zur Auswertung komme verstehe ich auf Seite 3 nicht ganz was dort gemacht wurde. Also Seite 1+2 ist jetzt klar.
Ist das die sinc-Funktion dann? verwirrt

verwirrt

Der komplexe Fourierkoeffizient ist $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ . Aber ich habe noch nicht begriffen $\begin{eqnarray*} \displaystyle c_k := \frac{1}{T_0} \hat{U}_I \left( k \cdot \frac{1}{T_0} \right) \end{eqnarray*}$ wieso er sich in dieser Konstellation dann ergibt?

Danke für deine Antwort Steffen!

Grüße

Pauline

28.08.2017, 16:26

Steffen Bühler

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RE: Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten

Zitat:

Original von Pauline21

Ist das die sinc-Funktion dann?

Ja, die wurde aus Gründen der Übersichtlichkeit eingeführt. Es hätten natürlich auch die e-Funktionen so stehenbleiben können.

Zitat:

Original von Pauline21
Aber ich habe noch nicht begriffen $\begin{eqnarray*} \displaystyle c_k := \frac{1}{T_0} \hat{U}_I \left( k \cdot \frac{1}{T_0} \right) \end{eqnarray*}$ wieso er sich in dieser Konstellation dann ergibt?

Du meinst, warum $\begin{eqnarray*} c_k := \frac{1}{T_0} \hat{U}_I \left( k \cdot \frac{1}{T_0} \right) \end{eqnarray*}$ ist? Das ist die Definition.

Oder verstehst Du nicht, warum $\begin{eqnarray*} c_k = \frac 12 sinc( \pi \cdot k) + \frac 14 sinc( \pi \cdot (k-1)) + \frac 14 sinc( \pi \cdot (k+1) ) \end{eqnarray*}$ ist? Beziehungsweise, wie sich dann die beiden Koeffizienten ergeben?

28.08.2017, 16:48

Pauline21

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RE: Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Du meinst, warum $\begin{eqnarray*} c_k := \frac{1}{T_0} \hat{U}_I \left( k \cdot \frac{1}{T_0} \right) \end{eqnarray*}$ ist? Das ist die Definition.

Okay, daran ist nichts zu rütteln lax gesagt, das muss ich mir dann merken.

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Oder verstehst Du nicht, warum $\begin{eqnarray*} c_k = \frac 12 sinc( \pi \cdot k) + \frac 14 sinc( \pi \cdot (k-1)) + \frac 14 sinc( \pi \cdot (k+1) ) \end{eqnarray*}$ ist? Beziehungsweise, wie sich dann die beiden Koeffizienten ergeben?

Ja genau das konnte ich auch noch nicht ganz verstehen. Ich verstehe die Konstellation nicht. Also es muss sich aus der Fouriertransformierten ergeben, aber ich kann mir nicht erklären wie.

Danke Steffen!

Grüße

Pauline

28.08.2017, 17:06

Steffen Bühler

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RE: Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten
Zunächst steht ja da noch die allgemeine Fourierformel für $\begin{eqnarray*} \hat U(f) \end{eqnarray*}$ , also für jede beliebige Frequenz f. Die ist noch verständlich, oder? Drei sinc-funktionen addiert.

Dann aber interessieren wir uns ja nur noch für die diskreten Frequenzen $\begin{eqnarray*} k \cdot f_0 = k \cdot \frac 1 {T_0} \end{eqnarray*}$ , also die einzelnen Harmonischen. Somit wird auf Seite 3 für das f nun $\begin{eqnarray*} k \cdot \frac 1 {T_0} \end{eqnarray*}$ eingesetzt und noch ein bisschen vereinfacht.

Dann ergeben sich diese drei sinc-Funktionen (hier für T0=1):

Und aufaddiert ergibt sich dann

Siehst Du, wie diese Funktion nur Werte bei k=0, k=-1 und k=1 annimmt, sonst Null bleibt?

EDIT: Mathjax durch Latex ersetzt, um Formeln lesbar zu machen.

28.08.2017, 17:29

Pauline21

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RE: Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten
Hallo,

danke für die Visualisierung. Ich wollte nur anmerken dass die Formeln bei mir irgendwie nicht angezeigt werden.

Also zusammengefasst kann ich sagen, dass ich jetzt aus den 3 Integrationen jeweils die 3 Sinc-Funktionen wahrnehme, wobei jede ein anderes Argument hat.

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Siehst Du, wie diese Funktion nur Werte bei k=0, k=-1 und k=1 annimmt, sonst Null bleibt?

Anhand des Graphen, mehr oder weniger, anhand der Formel konnte ich es nicht erkennen.

Grüße,

Pauline

28.08.2017, 17:56

Steffen Bühler

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RE: Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten
Ich hab die Formeln lesbar gemacht, der Grund ist wohl, dass Dein Java abgeschaltet ist.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} sinc ( \pi k) \end{eqnarray*}$ hat ja nur bei k=0 einen Wert, sonst ist sie Null. Die anderen beiden sind nach links bzw. rechts verschobene sinc-Funktionen. Wenn man das erkennt, braucht man gar keine Grafiken.

Viele Grüße
Steffen

28.08.2017, 18:47

Pauline21

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RE: Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ich hab die Formeln lesbar gemacht, der Grund ist wohl, dass Dein Java abgeschaltet ist.

Das kann eig nicht sein. Hm, naja.

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Die Funktion $\begin{eqnarray*} sinc ( \pi k) \end{eqnarray*}$ hat ja nur bei k=0 einen Wert, sonst ist sie Null. Die anderen beiden sind nach links bzw. rechts verschobene sinc-Funktionen. Wenn man das erkennt, braucht man gar keine Grafiken.

Aber wie wandert das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ in das Argument der Sinc-Funktionen? Das verstehe ich nicht.

Grüße und danke!

Pauline

PS: Wie zeichne bzw. gebe ich eig. Umkehrfunktionen hier in den Funktionen-Plotter ein? verwirrt

verwirrt

(Also von trigonometrischen Funktionen)

28.08.2017, 20:06

Steffen Bühler

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RE: Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten

Zitat:

Original von Pauline21
Aber wie wandert das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ in das Argument der Sinc-Funktionen? Das verstehe ich nicht.

Ich schrieb doch

Zitat:

Dann aber interessieren wir uns ja nur noch für die diskreten Frequenzen $\begin{eqnarray*} k \cdot f_0 = k \cdot \frac 1 {T_0} \end{eqnarray*}$ , also die einzelnen Harmonischen. Somit wird auf Seite 3 für das f nun $\begin{eqnarray*} k \cdot \frac 1 {T_0} \end{eqnarray*}$ eingesetzt und noch ein bisschen vereinfacht.

Zitat:

Original von Pauline21
Wie zeichne bzw. gebe ich eig. Umkehrfunktionen hier in den Funktionen-Plotter ein? verwirrt

verwirrt

(Also von trigonometrischen Funktionen)

So:

29.08.2017, 12:34

Pauline21

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RE: Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ich schrieb doch

Zitat:

Dann aber interessieren wir uns ja nur noch für die diskreten Frequenzen $\begin{eqnarray*} k \cdot f_0 = k \cdot \frac 1 {T_0} \end{eqnarray*}$ , also die einzelnen Harmonischen. Somit wird auf Seite 3 für das f nun $\begin{eqnarray*} k \cdot \frac 1 {T_0} \end{eqnarray*}$ eingesetzt und noch ein bisschen vereinfacht.

Ja ich habe das soweit zur Kenntnis genommen, ich schlage mich jedoch noch es zu verstehen. Einfach so machen, könnte man es aber jetzt verstehen wieso man es macht, das klappt bei mir nicht immer.

Danke Steffen,

Grüße

Pauline

PS: Danke für den Plotttipp Freude

Freude

29.08.2017, 13:18

Steffen Bühler

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RE: Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten
Hm, ich hätte schon gern, dass Du das verstehst.

Die drei addierten sinc-Funktionen sind zunächst das Spektrum eines einzigen cos²-Impulses. Also unendlich langes Schweigen, dann ein Impuls, dann wieder unendlich langes Schweigen. In diesem Fall brauchst Du tatsächlich alle Frequenzen U(f), damit Du das Signal rekonstruieren kannst. Also nicht nur die Werte bei den ganzen Zahlen, sondern alles dazwischen auch.

Da Dein Signal aber ein periodisch wiederholter cos²-Puls ist, reicht es eben, sich auf die ganzen Zahlen zu beschränken, also den Kehrwert der Pulslänge als Grundfrequenz und deren ganzzahlige Vielfache. Und in diesem Fall kommt dann gar nicht so viel zusammen.

Viele Grüße
Steffen

29.08.2017, 17:29

Pauline21

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RE: Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Hm, ich hätte schon gern, dass Du das verstehst.

Ich auch. Also im Grunde genommen geht es darum, dass man sich nur auf die relevanten Stellen konzentriert?

Danke!

Pauline

29.08.2017, 17:36

Steffen Bühler

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RE: Funktion zu Fourierreihe/Fouriertransformierten
Ja. Genau das ist mit der Zeile $\begin{eqnarray*} c_k=\hat U \left( k \cdot \frac 1 {T_0} \right) \end{eqnarray*}$ auf Seite 3 gemeint. Mit den k holt man sich die diskreten Punkte aus dem kontinuierlichen Spektrum raus.

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