Gradienten berechnen

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Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
Gradienten berechnen
Meine Frage:
Guten Abend.
Folgende Aufgabe was ich als Bild reingemacht habe.


Meine Ideen:
Zu (a):

Der Gradient Allgemein:

Also einmal die Ableitung nach x und einmal nach y daraus Folgt:
grad(f)=( cos(x)cos(y),-sin(x)sin(y) )

An der stelle

(Pi/2,0)= ( 0,0)
(Pi, pi/2)=( 0,0)
((3pi/2),0)=(0,0)

Überall kommt 0 raus ist das richtig ? Big Laugh
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten berechnen
Hey Leute habe versucht die zeichnung zu machen in der b)
Auch wenn es nicht Perfekt und sauber ist kann mir jemand sagen ob es richtig ist ?
Das letzte konnte ich nicht machen wusste nicht wie also den fall f(x,3pi/4)
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten berechnen
Hier sind die Bilder
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten berechnen
Das bisher stimmt. Bei b) wolltest du wohl ein Bild hochladen?

Fuer den letzten Fall ist es nur wichtig zu wissen, dass ist.

Edit: Bilder stimmen auch, auch wenn dein Cosinus recht eckig aussieht Big Laugh
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten berechnen
Hey endlich Antwortet Jemand Danke Wink smile

ja die Bilder waren zu groß musste es zurecht schneiden etc.
aber jetzt sind die Bilder da

Ps: In zeichnen war ich noch nie gut Forum Kloppe
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten berechnen
hast du einige Tipps für die c) ?

Der Gradient (pi, pi/2)=(0,0) also die Abzisse.

Ich habe den Hinweis angenommen und habe die Gradienten ausgerechnet aber ich komme nur auf Komische Werte und weiß nicht wie ich diese einzeichnen soll.

z.B

(pi + epsilon, pi/2+epsilon)= ( cos(pi/2+epsilon)cos(pi+epsilon),sin(pi/2+epsilon)sin(pi+epsilon))

also diese Werte sagen mir irgrendwie überhaupt nichts unglücklich


Der Gradient zeigt ja in die Richtung des Stärksten anstiegst.
und alle Gradienten im Punkt (x0,y0) sind (0,0) (ganz am anfang ausgerechnet)
Das heißt doch nichts anderes als sobald einer der Funktionen sin oder cos 0 ist ist auch der anstieg 0
deshalb ist die Steigung an diesen Punkten auch 0 so ist meine Idee
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten berechnen
Die Idee ist: Wenn die Ableitung verschwindet, kann es sein, dass wir uns in einem lokalen Minimum/Maximum befinden. Die Verallgemeinerung im höherdimensional gilt genau: Wenn der Gradient verschwindet, stehen die Chancen gut, dass wir uns in einem Extremum befinden.

Um zu überprüfen, ob wir ein Maximum vorliegen haben, bietet es sich an nachzugucken, ob alle Punkte in einer Umgebung kleinere Funktionswerte liefern. Analog für Mininum. Und wenn wir sowohl kleinere als auch größere Funktionswerte finden, ist es ein Sattelpunkt.

Edit: Oder für Gradienten: Schau, ob die Funktionswerte in Richtung der kritischen Punkte wachsen oder fallen.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradienten berechnen
oh Interessant geschockt

kannst du mir mal sagen wie bzw wo ich die Funktion einzeichnen kann um ein besseres überblick zu bekommen ?
f(x,y)= sin(x)*cos(y) ........ smile

Zitat:
Um zu überprüfen, ob wir ein Maximum vorliegen haben, bietet es sich an nachzugucken, ob alle Punkte in einer Umgebung kleinere Funktionswerte liefern.


Meinst du damit kleinere Funktionswerte als der Gradient also als(0,0) ?


Für das Minimum wäre es dann :
ob alle Punkte in einer Umgebung größere Funktionswerte liefern. (Hoffe das stimmt)


Für den Punkt (pi, pi/2)

wird die in den Umgebung betrachteten Punkte

Die Funktionswerte des Gradient mal kleiner mal größer...
(habe für epsilon zahlen eingesetzt die größer als 0 sind)
Irgendwie ist das auch Logisch weil die Wahrscheinlichkeit ist groß das eine Negative Zahl mit einer Positiven Multipliziert wird.
Wie kann ich aber den Gradienten einzeichnen der ist ja so sehr allgemein..

also zb für (pi+epsilon, pi/2+epsilon)=(....)
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Mal als Beispiel für den Punkt . Offenbar ist . Nun ist und für und nicht zu gross (d.h. um genau zu sein ) haben wir . Analog .

Da wir für beliebig nahe um Punkte mit größeren Funktionswerten und kleineren Funktionswerten finden, befindet sich dort ein Sattelpunkt.

Das siehst du auch schön im Bild. Wir sind genau zwischen den beiden Hügeln und den beiden Tälern.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Super Danke ich verstehe sehr gut was du da machst aber weshalb wird denn in der Aufgabe geraten
den Gradient auszurechnen und danach zu Skizzieren ? verwirrt
Das haben wir jetzt gar nicht benutzt geschockt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann das auch auf dem Level von Gradienten machen. Dann würde man gucken, welches Vorzeichen , wobei das Skalarprodukt bezeichne.

Damit sieht man ob die Funktionswerte wachsen (Vorzeichen ist postiv) oder fallen (Vorzeichen ist negativ), wenn man startend bei sich zu bewegt. Die Richtung dieses `Weges' ist, was hoffentlich alle Terme erklärt.

Warum das der bevorzugte Weg des Aufgabenstellers ist, kann ich dir nicht sagen. Mit einer Taylorentwicklung kann man zeigen, dass die beiden Wege äquivalent sind, aber das hier ist offensichtlich mit deutlich mehr Rechnungen verbunden.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich das du mir verschieden wege zeigst die Aufgabe zu Lösen.
Nur noch einen Beitrag zu dieser Aufgabe.

Also in der Aufgabenstellung sind genau 4 verschiedene Umgebungen wobei das Vorzeichen vom Epsilon sich ändert. Du hast in deiner Methode nur für x das Epsilon gesetzt und einmal das Epsilon Positiv und einmal Negativ gemacht und ich frage mich warum das ausreichend war ?
Müsste man nicht auch noch bei y das Epsilon setzen ?



In der Methode die der Prof. beschreibt. Warum muss man da 4 Umgebungen betrachten ?
und du hast da wieder nur für x das Epsilon benutzt warum ist das denn so verwirrt
Also ich frage mal besser so macht es einen Unterschied nur für x das Epsilon zu setzten ?

Nur aus Interesse :

Wäre es so richtig :







und dann weiß ich auch nicht mehr weiter -- echt eine Komische Aufgabe..
Ich mache diese Aufgabe einfach so wie du es mir gezeigt hast und behalte im hinterkopf das es auch mit dem Gradienten geht indem ich die Gradienten in den Jeweiligen umgebung berechne und schaue ob die Funktionswerte Steigen oder sinken.
WENN diese Steigen dann weiß ich das es ein Minimum ist und wenn diese Fallen dann weiß ich das es ein Maximum sein muss.

Übrigens habe ich auch gelesen das diese Untersuchungen auch mit der Hesse Matrix geht..
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mesut95
Du hast in deiner Methode nur für x das Epsilon gesetzt und einmal das Epsilon Positiv und einmal Negativ gemacht und ich frage mich warum das ausreichend war ?

Es war ausreichend, weil wir die Informationen bekommen haben, die wir wollten. Es ist kein Maximum, weil es größere Funktionswerte in der Nähe gibt; es ist kein Minimum, weil es ebenso kleinere Funktionswerte gibt. Du kannst das Spielchen mit den anderen Kombinationen (nur y oder in beiden) machen, aber: alles was du bekommst sind noch mehr Funktionswerte, die größer, kleiner, oder gleich dem Wert in sind. Du weißt danach etwas mehr über die Funktion, aber an dem bisherigen Wissen, nämlich dass es sich um einen Sattelpunkt handelt, wird es nichts ändern können -- egal, was du bei der Untersuchung heraus bekommst.

Zitat:
Original von Mesut95
In der Methode die der Prof. beschreibt. Warum muss man da 4 Umgebungen betrachten ?

Eigentlich reicht auch das nicht. Bereits sehr einfache Funktionen wie haben in einen Sattelpunkt, aber die 4 Umgebungen reichen nicht um das festzustellen. Aber die 4 Richtungen reichen üblicherweise um eine Vorstellung zu bekommen, um welchen Typ es handelt. Wenn man Glück hat, sind die 4 Richtungen genug um einen Sattelpunkt folgern zu können (Ich hatte bei dem Beispiel Glück und 2 haben dafür gereicht!). Aber Maximum/Minimum brauchen alle Richtungen, nicht 4. Man kann bestenfalls ausschließen, dass es Maximum oder Minimum ist. Aber die Unterscheidung zwischen Maximum/Sattelpunkt bzw. Minimum/Sattelpunkt wird dann damit unmöglich.

Zitat:
Original von Mesut95


Jetzt das Additionstheorem liefert
.
Alternativ folgt das auch sehr schnell wenn man weiss, dass und bis auf Verschiebung die gleiche Funktion ist (und bisschen Symmetrie erfuellt.)
Zitat:
Original von Mesut95
Übrigens habe ich auch gelesen das diese Untersuchungen auch mit der Hesse Matrix geht

Auch das geht. Hinreichend für Maximum ist, dass die Hesse-Matrix negativ-definit ist, hinreichend für Minimum ist, dass sie positiv-definit ist und hinreichend für Sattelpunkt ist indefinit.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh danke für die ausführliche erklärung am besten ist wohl das mit der Hesse-Matrix ! smile

Genug mit dem Aufgabenteil wenn ich mir die c) Angucke weiß ich eigentlich was zu tun ist aber mich verwirrt was heißt das denn genau ?
Heißt das ich soll es im Punkt pi/4 rechnen ?

Wenn ja hätte ich dafür die Lösung :



für v=(1,2) (Da die Länge = wurzel 5 ist müssen wir den Vektor Nomieren)



also



stimmt so die Berechnung wenn ja kann ich das ja sofort für ALLE anderen machen
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist gemeint. Die Notation soll hervorheben, dass man zuerst die Ableitung in Richtung berechnet und dann den Punkt einsetzt. Wenn man zuerst den Punkt einsetzt, und dann Ableiten liefert trivialerweise immer 0.

Das Endergebnis kann man übrigens mit noch zusammenfassen.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

gut für die beiden anderen Vektoren habe ich dann

einmal 0,5
und raus. Hoffe das stimmt ? smile



Und endlich zur Letzten Teilaufgabe Tanzen

Ich soll das mithilfe der Richtungsableitung berechnen geschockt

Ich weiß nicht wie das geht ich kenne nur den Klassichen weg :








mit s,t element R.

Stimmt das nun alles
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich bestätigen. Freude

Und zur letzten Teilaufgabe:
Zu 95% bin ich sicher, dass es ein Fehler in der Aufgabenstellung ist und man eigentlich den Punkt meinte. Oder eben bei bei d) den Punkt .

In dem anderen Fall müsste man jede Menge Eigenschaft von Sinus und Cosinus nutzen, um Informationen vom Punkt auf den Punkt zu übertragen. Daher sage ich mal zu 4% will man euch quälen.

Und klassisch gönne ich mir 1% für: Wir beide übersehen etwas offensichtlich einfaches Big Laugh
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

oh man ROFL

Also ist es falsch wie ich die Tangentialebene berechnet habe ?
Ich habe es von der Seite massmatics so gelesen ... Ups
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Was du gemacht hast, ist richtig. Die Masse meines Textes fragt sich nur wie Aufgabe e) mit Aufgabe d) zusammenhängen soll, wie es der Aufgabentext vermuten lässt. Und ich tendiere eben dazu, dass die Aufgabe nicht so gemeint ist.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

achso Engel

Ok mal angenommen der Punkt bei e) WÄRE gefragt wie berechne ich dann die Tangentialebene ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibe das was du gemacht hast etwas allgemeiner

.

Bei deinem letzten Beitrag hast du und gewählt. Damit konnte man die letzte Zeile bei den Richtungen zu den partiellen Ableitungen umschreiben. Das ganze funktioniert aber natürlich mit beliebigen Richtungen.

Man benötigt außerdem natürlich 2 linear unabhängige Vektoren, d.h. du kannst dir zwei Richtungen von Aufgabenteil d) aussuchen.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha Ich verstehe fröhlich




stimmt das ?
Verstehe jetzt auch den Zusammenhang smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dich entscheiden, ob du die normieren willst oder nicht. Wenn du sie normierst, sehen die ersten zwei Zeilen anders aus. Aber dann stehen in der dritten die Richtungsableitung.

Wenn du sie nicht normierst, so sieht die dritte Zeile anders aus.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso okay ich verstehe also :





so müsste es nun korrekt sein Prost
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte beides unnormiert gelassen aber jedem das seine Freude
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