Abgeschlossenheit

29.08.2017, 20:24	Hilfe12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit Meine Frage: Hallo, ich habe Fragen zur Abgeschlossenheit: wieso sind Geraden in IR^2 abgeschlossen? Wieso sind Ebenen abgeschlossen in IR^3 ? Meine Ideen: was ich mir vorstellen kann, ist, eine Gerade besteht aus überabzählbaren Punkten, und da Punkte abgeschlossen sind, folgt, dass Geraden ..... Und dasselbe dann bei Ebenen. Ich habe aber eine andere Definition: eine Menge X heißt abgeschlossen, wenn X alle Häufungspunkte enthält. Da fällt es mir schwer, die Begründung zu sehen. Also stimmt mein Ansatz mit der Abgeschlossenheit der Punkte? Und wie soll das mit den Häufungspunkten gehen? Vielen Dank.
30.08.2017, 11:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]45187[/attach] Nein, das mit der Überabzählbarkeit stimmt nicht. Da besteht kein unmittelbarer Zusammenhang mit der Abgeschlossenheit. Betrachten wir also eine Gerade $\begin{align} g \end{align}$ im $\begin{align} \mathbb{R}^2 \end{align}$ . Da du die Sache mit den Häufungspunkten angesprochen hast, führen wir die Argumentation mal darüber. Jetzt nehmen wir einen Punkt $\begin{align} P \end{align}$ , der nicht auf der Geraden liegt. Um diesen kann man Kreise zeichnen. Wenn sie groß genug sind, enthalten sie Punkte von $\begin{align} g \end{align}$ . Aber es gibt auch Kreise (der kleine in der Zeichnung zum Beispiel), die keine Punkte von $\begin{align} g \end{align}$ enthalten. Also ist $\begin{align} P \end{align}$ kein Häufungspunkt von $\begin{align} g \end{align}$ . Ergebnis 1 Punkte, die nicht auf $\begin{align} g \end{align}$ liegen, sind keine Häufungspunkte von $\begin{align} g \end{align}$ . Dann nehmen wir einen Punkt $\begin{align} Q \end{align}$ , der auf $\begin{align} g \end{align}$ liegt. Auch um diesen kann man Kreise zeichnen. Aber wie klein auch immer man den Kreis zeichnet, stets enthält er Punkte von $\begin{align} g \end{align}$ . Also ist $\begin{align} Q \end{align}$ ein Häufungspunkt von $\begin{align} g \end{align}$ . Ergebnis 2 Punkte, die auf $\begin{align} g \end{align}$ liegen, sind Häufungspunkte von $\begin{align} g \end{align}$ . Damit enthält $\begin{align} g \end{align}$ alle seine Häufungspunkte und ist damit abgeschlossen. Um zu sehen, ob du das verstanden hast, kannst du dich einmal mit der folgenden Aufgabe beschäftigen: Betrachte das Innere $\begin{align} D \end{align}$ eines Kreises im $\begin{align} \mathbb{R}^2 \end{align}$ (das besteht aus allen Punkten, die im Innern des Kreises liegen). Ist die Menge $\begin{align} D \end{align}$ abgeschlossen? Tip: Unterscheide, ob Punkte im Innern, auf dem Rand oder außerhalb des Kreises liegen und mache eine Betrachtung wie oben. Hinweis: Für die Aufgabe mit der Ebene im $\begin{align} \mathbb{R}^3 \end{align}$ mußt du statt Kreisen Kugeln um die Punkte nehmen.
01.09.2017, 23:11	Hilfe12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit Danke für Deine Antwort. Deine Erklärung habe ich verstanden. Ich versuche mich mal an Deiner Aufgabe: Ich nenne Innere des Kreises jetzt Menge M, damit die Kreise mit Radius epsilon nicht für Verwirrung sorgen. 1. man nehme einen Punkt P , der im Inneren von M liegt, dadurch liegt mindestens ein Punkt, wie zB P, in dem Kreis mit beliebigem Radius. Daraus folgt P ist ein Häufungspunkt. 2.nun nehme man einen beliebigen Punkt Q am Rande von M. Man nehme wieder einen Kreis mit beliebigem Radius um Q, in diesem liegen auch Punkte von M. Aber da Q kein Element von M ist, ist Q kein Häufungspunkt von M. (da bin ich mir nicht so ganz sicher) 3. Und außerhalb des Kreises wähle ich einen beliebigen Punkt S um den ich einen Kreis lege, der keine Elemente von M enthält. Dadurch ist S kein Häufungspunkt von M. 4. wenn man außerhalb von M ist und einen Punkt A wählt, dessen Kreis einen Radius hat, der groß genug ist , dass er Punkte von M enthält, ist man wieder bei Fall 2. Wegen Fall 2 bzw 4 enthält M nicht alle seine Häufungspunkte und ist damit nicht abgeschlossen. Stimmt das?
03.09.2017, 18:31	Hilfe12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit Könnte sich das jemand anschauen bitte? Oder vielleicht Sie @Leopold ?
03.09.2017, 19:42	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur damit keine Missverständnisse entstehen: Ergebnis 2 ist für die Bearbeitung der Aufgabe nicht notwendig. Leopold zeigt hier, dass jeder Punkt auf einer Geraden ein Häufungspunkt ist, das ist aber nicht notwendig für Abgeschlossenheit, dafür reicht bereits Ergebnis 1.
04.09.2017, 19:27	Hilfe12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit das heißt, es stimmt? Und ich soll 1. rausnehmen und nur die übrigen 3 Fälle betrachten?
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05.09.2017, 12:46	Hilfe12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit kann mir bitte jemand sagen, ob das richtig ist, was ich geschrieben habe?

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